1.1 Elektrische Strömung

Elektronen: negativ geladene (-Q = e = 1,602 × 10^{- 19} Asec) Elementarteilchen verschwindend kleiner Masse (Ruhemasse m_o = 9,1 × 10^{- 28} g ).

Ionen: Atome, Moleküle oder Molekülteile, die mehr oder weniger Elektronen enthalten, als zu ihrer Neutralisierung notwendig sind. Teilchen mit einer negativen überschüssigen Ladung heißen Anionen, die mit einer positiven Ladung heißen Kationen. 

Infolge verschiedener Einflüsse, vor allem der Temperatur, befinden sich diese Ladungsträger im Allgemeinen in einer dauernden Bewegung. Wirken keine äußeren Kräfte auf die Ladungen, so sind diese Bewegungen völlig ungeordnet, sodass keine resultierende einseitige Bewegungsrichtung der Ladungsträger auftritt; man spricht von einem elektrischen Rauschen. 

Führt man bestimmte Zustände herbei, die eine einseitig gerichtete Kraft auf alle Ladungen gleichen Vorzeichens ausüben, wird den ungeordneten Bewegungen eine einseitig gerichtete Bewegung aller mit gleichnamigen Ladungen behafteten Elementarteilchen überlagert, d.h. alle Ladungen gleicher Polarität bewegen sich (fließen) in einer bestimmten Richtung. 

Bewegen sich gleichnamige Ladungsträger in einer bestimmten Richtung, so spricht man von einer elektrischen Strömung bzw. davon, dass ein elektrischer Strom fließt. 

Beim Elektronenstrom handelt es sich um die Strömung elektrischer Ladung ohne nennenswerten Materialtransport. Bei der Ionenströmung im Elektrolyten ist mit der Ladungsströmung auch eine merkliche Materialströmung verbunden. Die elektrische Strömung kann durch menschliche Sinne nicht direkt, sondern nur über die von dieser hervorgerufenen Wirkung indirekt wahrgenommen werden. 

Wirkungen:
 

magnetische:	In der Umgebung bewegter Ladungen wird ein magnetisches Feld aufgebaut.
thermische:	Das Medium, welches elektrisch durchströmt wird, erwärmt sich.
chemische:	Bestimmte Flüssigkeiten (Elektrolyte) werden chemisch verändert.

Der elektrische Strom ist eine gerichtete Bewegung der Ladungsträger, die durch eine Spannung verursacht wird.

Die Klemmen einer Gleichspannungsquelle sind mit plus und minus gekennzeichnet, wobei plus eine Häufung positiver Ladungsträger an diesem Pol und minus die Häufung negativer Ladungsträger bedeutet. Die technische Richtung des elektrischen Stromes ist entgegengesetzt der Richtung des Elektronenstromes, also der wahren Bewegung der elektrischen Ladung in metallischen Leitern und im Vakuum (Elektronenröhre), definiert (Bild 1.1/1).

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1.2.1 Stromstärke I

Bei metallischen Leitern liegt die Dichte der freien Elektronen in der Größenordnung von n = 10²³ Elektronen/cm³. 

Jedes Elektron besitzt die Elementarladung (-e). 

Die Stromstärke, d.h. die Ladungsmenge, die pro Zeit einen Querschnitt durchfließt (Bild 1.2.1/1), berechnet sich mit Gl. (1.2.1/1).

Bei homogener Verteilung der Strömung über den Leiterquerschnitt A ergibt sich die Stromdichte J aus Gl. (1.2.1/2).

Darin lässt sich das Produkt n×e als Ladungsdichte h, d.h. als Ladung Q pro Volumen V deuten. 

Ist die Strömung während der Zeit nicht konstant, d.h. ändert sich die durch den Leiterquerschnitt fließende Ladungsmenge (Q) mit der Zeit , so wird auch die Stromstärke eine Funktion der Zeit (Gl. (1.2.1/3)).

Mit Lichtgeschwindigkeit wird entlang eines Leiters der Zustand aufgebaut, der die Kraftwirkung auf die Elektronen ausübt. Bei den gebräuchlichen Leiterlängen setzen sich beim Anlegen einer Spannung alle Elektronen entlang des ganzen Leiters nahezu gleichzeitig in Bewegung, aber mit einer Geschwindigkeit, die in der Größenordnung von Millimetern je Sekunde liegt (siehe Bsp. 1.2.1/1).

Bsp. 1.2.1/1: 

Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen in einem Leiter mit A = 1mm², wenn 10 A fließen? 

Aus Gl. (1.2.1/4) ergibt sich: 

Da e > 0 definiert ist , hat  die entgegengesetzte Richtung zu  . 

Richtung der Elektronen 

Richtung des def. Stromes I 

Bsp. 1.2.1/2: 

Die in Bild 1.2.1/4 skizzierte Kreisringscheibe wird von einer Strömung I durchflossen, die bei der inneren Zylinderfläche beginnt und bei der äußeren Zylinderfläche endet, also strahlenförmig fließt. Wie groß ist die Stromdichte im Punkt P? 

Ist der Strom I nicht gleichmäßig über die Fläche A verteilt (Bild 1.2.1/5), so ist die Stromdichte J abhängig vom Ort innerhalb des Querschnitts. Der Strom berechnet sich dann mit Gl. (1.2.1/6).

Bsp. 1.2.1/3: 

Gegeben sind die in Bild 1.2.1/6 skizzierten Zeitverläufe einer elektrischen Ladung q(t), die den betrachteten Querschnitt eines stromdurchflossenen Leiters passiert. 

Zeichnen Sie qualitativ die zugehörigen Stromverläufe i(t).

Bsp. 1.2.1/4: 

Mit einem Oszilloskop wird die in Bild 1.2.1/7 dargestellte i(t)-Funktion gemessen. Welche Elektrizitätsmenge passiert in der Zeit von t₁ = 0 bis t₂ = 2 sec den Leiterquerschnitt? 

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1.2.2 Elektrische Spannung U 

Die elektrische Größe, die das Fließen eines elektrischen Stromes verursacht, ist die elektrische Spannung U ([U] = V).

Die Spannung wird in Spannungsquellen magnetisch, chemisch, thermisch, durch Lichteinwirkung usw. erzeugt. 

In einem Leiter stellt man einen Spannungsabfall fest. 

Flächen gleicher Spannung nennt man Äquipotentialflächen (Bild 1.2.2/1).

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1.2.3 Zusammenhang zwischen Strom und Spannung (Ohm'sches Gesetz)

Experimentell lässt sich der in Gl. (1.2.3/1) beschriebene Zusammenhang ermitteln. 

Unter der Voraussetzung, dass die Leiterlänge l groß gegenüber den linearen Querschnittsabmessungen A ist, errechnet sich der Widerstand R mit Gl. (1.2.3/2).

Die Spannung U bewirkt den Stromtransport, erzeugt also ein Feld, das auf die Elektronen wirkt. 

Für homogene Felder (Bild 1.2.3/1) berechnet sich die elektrische Feldstärke E mit Gl. (1.2.3/3), wenn das Wegelement  in Richtung von  zeigt. Bei einem inhomogenen Feld (Bild 1.2.3/3) erhält man die Spannung U mit der Gl. (1.2.3/4).

Für das skizzierte Volumenelement in Bild 1.2.3/4 lässt sich die allgemeine Beziehung in Gl. (1.2.3/5) ableiten. Das ohmsche Gesetz des Strömungsfeldes ist in Gl. (1.2.3/6) dargestellt. 

Bsp. 1.2.3/1: 

Die in Bild 1.2.3/5 skizzierte Kreisscheibe aus Marmor hat eine Leitfähigkeit von c = 10^-11 S/cm. Zwischen den dünnen Metallzylindern mit r_i = 5 cm und r_a = 15 cm herrscht eine Spannung von 20 kV.
 

a)	Wie groß ist der den Marmor durchfließende Strom, wenn die Dicke der Scheibe s = 10 cm ist?
b)	Wie groß ist der Widerstand R?

Bsp. 1.2.3/2: 

In einer Leitung mit kreisförmigem Querschnitt A fließt ein Strom. Wie und um wie viel Prozent muss der Durchmesser D verändert werden, damit bei einer Stromzunahme von 3% die Stromdichte gleichbleibt? 

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1.2.4 Widerstand R 

Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen wird durch Zusammenstöße mit den Atomen des Leitermaterials ständig unterbrochen. Dabei verlieren die Elektronen kinetische Energie, die die thermischen Schwingungen der Atome erhöht (Erwärmung). 
Bei wachsender Temperatur erhöht sich in Metallen die statistische Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen zusammenstoßen; dadurch nimmt der elektrische Widerstand R zu. 

Die Temperaturabhängigkeit lässt sich mit Hilfe des Temperaturbeiwertes oder Temperaturkoeffizienten a beschreiben. 
a gibt an, um wie viel sich der Wert eines Widerstandes bei DJ = 1° ändert. Je nach Höhe der Ausgangstemperatur J₁ hat a verschieden große Werte, d.h. a ist eine Funktion der Temperatur. 
Deshalb wird ein mittlerer Temperaturbeiwert a_M eingeführt, der für einen bestimmten Temperaturbereich konstant ist. 

Bei der Temperatur J₁ sei R₁ der Widerstand (Bild 1.2.4/1).
Erhöht sich die Temperatur auf J₂, so ändert sich R₁ um R₁ × a_M × (J₂ - J₁). 
Damit beträgt der Widerstand bei der Temperatur J₂ : R₂ = R₁+ R₁ × a_M × (J₂ - J₁). 

Mit Gl. (1.2.4/1) lässt sich näherungsweise die Widerstandserhöhung für einen begrenzten Temperaturbereich (Bild 1.2.4/1) berechnen. 

Für den Bereich von J = 0 - 100°C beträgt a_M z.B. für 

Kupfer:

a_M = 4,28×10^-3 / Grad 

Platin:

a_M = 3,91×10^-3 / Grad 

Bei Kohle ist a_M negativ. 

Mit Halbleiterwerkstoffen lässt sich beinahe jede Temperaturabhängigkeit realisieren. 

In den meisten Tabellen wird a auf 20°C Leitertemperatur bezogen. 

Die auf 20°C bezogene Näherungsgleichung (1.2.4/2) gilt in guter Näherung bis etwa J = 200°C. In Wirklichkeit besteht ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Temperatur- und Widerstandserhöhung. Diese nichtlineare Kennlinie kann mit einem Taylorpolynom approximiert werden. Gl. (1.2.4/2) ist der lineare Term dieses Polynoms. Berücksichtigt man zusätzlich den quadratischen Term des Taylorpolynoms, dann erhält man die Gl. (1.2.4/3), die das Verhalten in guter Näherung auch oberhalb von J = 200°C beschreibt. Je mehr Terme man von dem Taylorpolynom berücksichtigt, desto genauer wird das Ergebnis. Es hat sich jedoch gezeigt, dass für die meisten praktischen Berechnungen die Gl. (1.2.4/3) vollkommen ausreicht. 

Bild 1.2.4/2 stellt das Verhalten von sogenannten Kalt- und Heißleitern dar. 

Während bei metallischen Werkstoffen konstanter Temperatur der Widerstand R konstant ist (linearer Zusammenhang zwischen U und I) gibt es auch nichtlineare Kennlinien (Bild 1.2.4/3). Für diese Kennlinien gibt es folgende Beschreibungsmöglichkeiten: 

1. I = f(U) bzw. U = f(I)

2. Angabe des Absolutwertes U/I und der Steigung dU/dI 

3. nur die Steigung dU/dI 

Die Steigung wird als differentieller Widerstand bezeichnet (Gl. (1.2.4/4)).
Der differentielle Widerstand entspricht dem Anstieg der Tangente im Arbeitspunkt der nichtlinearen Kennlinie; die Kennlinie wird in diesem Bereich linearisiert, indem der Anstieg der Tangente den Widerstandswert bestimmt. 

Bild 1.2.4/4 zeigt das einfachste Ersatzschaltbild eines elektrischen Stromkreises. 

Bsp. 1.2.4/1: 

Wie groß ist der Dauer- bzw. Einschaltstrom einer Glühlampe mit einem Wolframdraht von 0,024 mm Durchmesser und 62 cm Länge in heißem (2200°C) und kaltem Zustand (20°C), wenn die Glühbirne an 240 V angeschlossen wird ? 

r = 0,055 W mm²/m

a₂₀ = 4,1 × 10^-3 °C^-1 ; b₂₀ = 10 ^-6 °C^-2

Bsp. 1.2.4/2: 
 

a)	Aus den durch Messungen (Bild 1.2.4/5) bestimmten Werten sind die Temperaturkoeffizienten für Kupfer und Konstantan zu berechnen.
b)	Der Kupferwiderstand beträgt bei Nenntemperatur 25 W. Der Konstantandraht hat bei dieser Temperatur den Querschnitt AK = 10-2 mm2 und den spezifischen Widerstand rK = 0,5 W mm2/m. Die beiden Widerstände werden in Reihe geschaltet.  Wie lang muss der Konstantandraht sein, wenn der Gesamtwiderstand unabhängig von Temperaturschwankungen werden soll?
c)	Wie groß ist der Gesamtwiderstand bei Nenntemperatur?

Bsp. 1.2.4/3: 

Mit einem Ohmmeter wird bei 12°C der Widerstand eines Kupferdrahtes (a _Cu = 3,93 ×10 ^-3/ °C) R_K = 3,42 W gemessen. Auf welchen Wert wurde der Kupferdraht erwärmt, wenn das Ohmmeter R_W = 4,21 W anzeigt? 

Bsp. 1.2.4/4: 

Bei einem Drehspulinstrument hat die Drehspule einen Widerstand von R_Sp = 80,7 W (Kupferdraht). Ein Vorwiderstand R_V = 252,6 W aus Manganin dient zur Messbereichserweiterung (a_Cu = 0,4 % / °C; a_M = 0,001 % / °C).
 

a)	Wie groß ist die prozentuale Widerstandsänderung beider Einzelwiderstände RSp und RV und des Gesamtwiderstandes Rges bei einer Temperaturerhöhung um DJ = 20°C?
b)	Berechnen Sie den Temperaturkoeffizienten des Gesamtwiderstandes.

Bsp. 1.2.4/5: 

Gegeben ist in Bild 1.2.4/6 die Kennlinie einer idealen Halbleiterdiode (Sperrstrom I_S = 1 mA, Temperaturspannung U_T = 25 mV).
 

a)	Wie groß ist der Gleichstromwiderstand R(0) im Nullpunkt?
b)	Wie groß ist der differentielle Widerstand r für U = 8 × UT (Flussgebiet) und U = -8 × UT (Sperrgebiet) ?

Bsp. 1.2.4/6: 

Gegeben ist in Bild 1.2.4/7 die Kennlinie einer realen Halbleiterdiode (I_S = 1 mA, U_T = 25 mV, Bahnwiderstand R_B = 3 W). Wie groß ist der differentielle Widerstand für I = 0 und I = 1 mA?

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1.2.5 Energie und Leistung der elektris

chen Strömung (homogener Leiter) 

Eine Spannung U bewirkt in Bild 1.2.5/1 auf der Länge l eine Kraft F auf eine Ladung Q (Elektron). Die Kraft F lässt sich allgemein berechnen mit Gl. (1.2.5/1). Die dafür benötigte Energie W ([W] = Wsec) ergibt sich für U = konstant und I = konstant aus Gl. (1.2.5/2). Sind dagegen Spannung und Strom Funktionen der Zeit (u(t), i(t)), dann muss mit dem Integral in Gl. (1.2.5/3) gerechnet werden. 

Die Leistung P ([P] = W) in Gl. (1.2.5/4) gibt an, welche Energieänderung dW je Zeiteinheit dt erfolgt. Bei zeitlich konstanten Größen darf mit Gl. (1.2.5/5) gerechnet werden. Die Leistung am ohmschen Widerstand ergibt sich aus Gl. (1.2.5/6).

Energie kann nicht erzeugt oder verbraucht werden, sondern nur in andere Energieformen (mechanische, elektrische, thermische, optische, chemische) umgewandelt werden. 

Bsp. 1.2.5/1: 

Es soll ein Tauchsieder mit einer Leistungsaufnahme von 500 W bei einer Netzspannung von 240 V hergestellt werden. 
 

a)	Welche Länge Chromnickeldraht (d = 0,3 mm, r = 1 W mm2/m) wird hierfür benötigt? Eine Widerstandsänderung durch DJ (2 - 3 %) kann vernachlässigt werden.
b)	Wie hoch sind die Kosten für einen zehnstündigen Betrieb (1 kWh kostet 0,10 EUR)?

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