2.1 Allgemeine Definitionen

Widerstandselemente werden durch Widerstandssymbole dargestellt, die durch widerstandslos angenommene Leitungen verbunden sind. 

In Bild 2.1/1 sind der innere Spannungsabfall U_i, die Klemmenspannung U und die Leerlaufspannung U₀ dargestellt. Bei der Leistungsberechnung ist zu beachten, dass die abgegebene Leistung P₀ negativ und die aufgenommene Leistung P_Ra positiv festgelegt wird. Diese Definition ist sinnvoll bei Computerberechnungen, damit man am Zahlenwert sofort erkennen kann, ob es sich um eine abgegebene oder aufgenommene Leistung handelt. 

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2.1.1 Serienschaltung von Widerständen

Der Gesamtwiderstand R_ges von n in Serie geschalteten Widerständen berechnet sich mit Gl. (2.1.1/1). Die Spannungsteilerregel bei zwei seriell geschalteten Widerständen (Bild 2.1.1/1) ist in Gl. (2.1.1/2) dargestellt. 

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2.1.2 Parallelschaltung von Widerständen

Für die in Bild 2.1.2/1 skizzierte Parallelschaltung gilt die Stromteilerregel in Gl. (2.1.2/1). Für n parallel geschaltete Widerstände errechnet sich der Gesamtwiderstand R_ges mit Gl. (2.1.2/2).

Bsp. 2.1.2/1:
 

a)	Berechnen Sie in Bild 2.1.2/2 den Strom I.
b)	Wie groß ist I, wenn einer der 3 Parallelwiderstände kurzgeschlossen wird?

Bsp. 2.1.2/2: 

Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R_ges für die in Bild 2.1.2/3 skizzierte Schaltung. 

Bsp. 2.1.2/3: 
 

a)	Berechnen Sie die Spannung U1 in Bild 2.1.2/4 mit der Spannungsteilerregel.
b)	Wie groß muss R1 gewählt werden, wenn in diesem Widerstand 1/20 der Eingangsleistung P0 = U0 × I verbraucht werden soll und der Widerstand R = 1 W beträgt?

Bsp. 2.1.2/4: 

Der Strom I₄ in Bild 2.1.2/5 ist mit Hilfe der Stromteilerregel zu ermitteln. 

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2.2.1 Erster Kirchhoff'scher Satz (Knotenpunktregel) 

Für das in Bild 2.2.1/1 skizzierte Strömungsfeld gilt die Gl. (2.2.1/1), d.h. das Flächenintegral über eine beliebig geformte Hülle muss null ergeben. Für diskrete Ströme geht diese Gleichung in Gl. (2.2.1/2) über, die aussagt, dass die Summe aller in eine Hülle hinein- oder herausfließenden Ströme gleich null ist (in einem geschlossenen System ist die resultierende Elektrizitätsmenge konstant). 

Die in Bild 2.2.1/1 skizzierte Hülle lässt sich auch als Knotenpunkt deuten. Treffen sich mehrere stromdurchflossene Leiter in einem solchen Knotenpunkt, dann gilt die Gl. (2.2.1/2). Die Summe aller vorzeichenbehafteter Ströme eines Knotenpunktes ist null. Ob man die zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme positiv und die vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme negativ in Gl. (2.2.1/2) einsetzt oder es umgekehrt definiert, spielt keine Rolle, da die entgegengesetzte Definition nur bewirkt, dass die Gl. (2.2.1/2) mit -1 multipliziert wird, was am Ergebnis aber nichts ändert. 

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2.2.2 Zweiter Kirchhoff'scher Satz (Maschenregel) 

Das Integral der elektrischen Feldstärke (Gl. (2.2.2/1)) zwischen den Punkten 1 und 2 eines Strömungsfeldes (Bild 2.2.2/1) ist unabhängig vom gewählten Integrationsweg. Das Umlaufintegral (Gl. (2.2.2/2)) der elektrischen Feldstärke längs einer beliebigen geschlossenen Raumkurve ist null. Für diskrete Spannungen (Quellspannungen und Spannungsabfälle) erhält man daraus die Maschengleichung (2.2.2/3). 

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2.2.3 Regeln zur Berechnung von Netzwerken 

Jedes Netzwerk lässt sich analog zu Bild 2.2.3/1 mit Hilfe von Maschen, Zweigen und Knotenpunkten strukturieren. Um alle unabhängigen Knotenpunkt- und Maschengleichungen zu erhalten, sollte man die Berechnung des Netzwerkes mit folgendem "Kochrezept" durchführen: 
 

a)	Zählpfeile für Ströme und Spannungen einzeichnen
b)	Alle unabhängigen Knotenpunktgleichungen   aufstellen (bei n vorhandenen Knotenpunkten lassen sich n-1 Knotenpunktgleichungen aufstellen)
c)	Es werden die voneinander unabhängigen Maschengleichungen   aufgestellt

Die unabhängigen Maschengleichungen findet man am einfachsten, indem man jeweils die Masche, deren Gleichung man aufgestellt hat, an einer beliebigen Stelle auftrennt. Zum Aufstellen der nächsten Maschengleichung sucht man dann einen weiteren , nicht unterbrochenen Umlauf. Hat das Netz n Knoten und m Zweige, so lassen sich m-(n-1) Maschengleichungen aufstellen. 

Für ein Netz mit m Zweigen und n Knoten erhält man: 
 

	(n-1) Knotengleichungen
	m-(n-1) Maschengleichungen
	m-(n-1)+(n-1) = m Gleichungen.

Bsp. 2.2.3/1: 
 

a)	Gesucht ist in Bild 2.2.3/2 der Strom I2.
b)	Welchen Wert muss R3 haben, damit der Strom I2 null wird?

Bsp. 2.2.3/2: 
 

a)	Ermitteln Sie in Bild 2.2.3/3 den Brückenstrom IM.
b)	Wie lautet die Brückenabgleichbedingung für IM = 0 ?

Bsp. 2.2.3/3: 
 

a)	Die Ströme I1, I2 und I3 in Bild 2.2.3/4 sind zu berechnen.
b)	Wie groß ist IC?
c)	Zeichnen Sie den Spannungsverlauf längs der Masche.

Bsp. 2.2.3/4: 

Der Strom I ist in Bild 2.2.3/7 zu ermitteln. 

Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R_N ist in Bild 2.2.3/8 skizziert. 

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2.3 Überlagerungssatz (Superpositionsgesetz) 

Wie bei allen Problemen der Physik, bei denen die Wirkung linear von der Ursache abhängt, gilt auch bei linearen Stromkreisen das Superpositionsgesetz, das besagt, dass zunächst jeweils die Wirkung einer Ursache unabhängig von allen übrigen Wirkungen berechnet werden kann und dass sich dann die resultierende Wirkung aller Ursachen als Summe aller Einzelwirkungen ergibt. 

Enthält ein Netz mehrere Spannungsquellen, so kann man den Strom I_x in irgendeinem Zweig x als Summe (Überlagerung) einzelner Teilströme berechnen. Zur Berechnung eines Teilstromes ersetzt man alle Spannungsquellen bis auf eine (z.B. U₀₁) durch Kurzschlüsse (nicht deren Innenwiderstände) und bestimmt den Strom, der von dieser übriggebliebenen Spannungsquelle in dem Zweig x fließt (z.B. I_xU01). Berücksichtigt man in dieser Weise alle Spannungsquellen einzeln, so erhält man I_xU02 ; I_xU03 ; ... , wobei die Ströme vorzeichenbehaftet in die Summe in Gl. (2.3/1) einzusetzen sind. 

Bsp. 2.3/1: 

Mit Hilfe des Überlagerungssatzes ist der Strom I₂ in Bild 2.3/1 zu berechnen. 

Bsp. 2.3/2: 

Der Strom I₂ ist in Bild 2.3/4 zu ermitteln. 

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2.4 Maschenstromanalyse 

Führt man in jede unabhängige Masche einen geschlossenen Ringstrom (Maschenstrom) ein, dann erhält man nur so viele unbekannte Ströme, wie unabhängige Maschen vorhanden sind. Man benötigt zur Berechnung der Maschenströme nur die Maschengleichungen, d.h., man spart die Knotenpunktgleichungen ein. Das Gleichungssystem ist also u.U. wesentlich einfacher. Allerdings muss man die einzelnen wirklich interessierenden Zweigströme aus den berechneten Maschenströmen noch ermitteln (Summen- oder Differenzbildung). 

Bsp. 2.4/1: 

Berechnen Sie in Bild 2.4/1 den Strom I₅ unter Verwendung der Maschenstromanalyse. 

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2.5 Der elektrische Zweipol 

Unter einem elektrischen Zweipol versteht man ein abgeschlossenes System (Bild 2.5/1), das nur über zwei Klemmen elektrisch zugänglich ist. Die Spannung zwischen diesen beiden Klemmen und der hinein- bzw. herausfließende Strom müssen in einem eindeutigen Zusammenhang stehen. Dieses abgeschlossene System darf daher nicht noch magnetisch oder elektrostatisch zugänglich sein, sodass in den Elementen dieses Systems zusätzlich Spannungen induziert oder influenziert werden könnten. 

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2.5.1 Der allgemeine lineare Zweipol 

An einem Zweipol, der elektrische Energie abgeben kann, aber mit Widerständen behaftet ist, tritt auch dann eine Klemmenspannung auf, wenn der Strom null ist. Diese Klemmenspannung ändert sich jedoch, sobald ein Klemmenstrom fließt. 

Mathematisch sind die beiden Gleichungen (2.5.1/1) und (2.5.1/2) gleichwertig, sie können jedoch physikalisch unterschiedlich interpretiert werden. Dementsprechend unterscheidet man Ersatzspannungsquellen und Ersatzstromquellen. 

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2.5.2 Ersatzspannungsquelle 

Bild 2.5.2/1 zeigt eine Ersatzspannungsquelle mit der Klemmenspannung U (Gl. (2.5.2/1)) und der Leerlaufspannung U_L = U₀ (Gl. 2.5.2/2).

Experimentell könnten also U_L = U₀ und der Kurzschlussstrom I_K (Gl. (2.5.2/3)) bestimmt werden. Daraus lässt sich mit Gl. (2.5.2/4) der Innenwiderstand R_i berechnen. 
Klemmenkurzschluss ist in der Praxis meistens nicht realisierbar, da Schäden an den Spannungsquellen auftreten können. 

Mit der im Bild 2.5.2/2 skizzierten Schaltung (2 Belastungsmessungen mit R₁ bzw. R₂) lassen sich der Innenwiderstand R_i (Gl. (2.5.2/5)) und die Leerlaufspannung U₀ (Gl. (2.5.2/6)) ermitteln. 

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2.5.3 Ersatzstromquelle 

Bild 2.5.3/1 zeigt eine Ersatzstromquelle mit dem Klemmenstrom I (Gl. (2.5.3/1)) und der Leerlaufspannung (Gl. (2.5.3/2)). Experimentell könnten also U_L und der Kurzschlussstrom I_K = I₀ (Gl. (2.5.3/3)) bestimmt werden. Daraus lässt sich mit Gl. (2.5.3/4) der Innenwiderstand R_i berechnen. 
Klemmenkurzschluss ist in der Praxis meistens nicht realisierbar, da Schäden an den Stromquellen auftreten können. 

Mit der in Bild 2.5.3/2 skizzierten Schaltung (2 Belastungsmessungen mit R₁ bzw. R₂) lassen sich der Innenwiderstand R_i (Gl. (2.5.3/5)) und der Kurzschlussstrom I₀ (Gl. (2.5.3/6)) ermitteln. 

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2.5.4 Unterschied zwischen Ersatzspannungs- und -stromquelle 

Der Vergleich der beiden Gleichungen (2.5.2/1) und (2.5.3/1) liefert die Gl. (2.5.4/1), die den Zusammenhang zwischen Leerlaufspannung U₀ und Kurzschlussstrom I₀ beschreibt. 

Ersatzspannungs- oder -stromquelle beschreiben hinsichtlich des Zusammenhangs zwischen Klemmenstrom und -spannung völlig gleichwertig einen aktiven linearen Zweipol, solange R_i endlich ist, d.h. es kann die eine immer in die andere umgerechnet werden mit Ausnahme der idealen Spannungsquelle (R_i = 0) und der idealen Stromquelle (R_i = ¥ ).

Die Grenzfälle für R_i = 0 und R_i = ¥ sind in Bild 2.5.4/1 dargestellt. 

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2.5.5 Der allgemeine Ersatzzweipol eines Netzwerkes 

Passive Netzwerke können zu einem resultierenden Ersatzwiderstand R_a zusammengefasst werden, der dieses Netzwerk als Zweipol beschreibt. Genauso kann ein aktives Netzwerk, das aus mehreren Spannungsquellen und Widerständen besteht, zu einem resultierenden aktiven Zweipol, der nur aus einer einzigen Spannungs- oder Stromquelle und einem einzigen inneren Widerstand besteht, zusammengefasst werden (Bild 2.5.5/1).

Der aktive Zweipol beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen Klemmenspannung und -strom. Auf das tatsächliche Netzwerk sind keine Rückschlüsse möglich. 

Bsp. 2.5.5/1: 

Ermitteln Sie in Bild 2.5.5/2 die Spannung U₁ mit Hilfe der Zweipoltheorie. 

Bsp. 2.5.5/2: 

Unter Verwendung der Zweipoltheorie ist in Bild 2.5.5/6 der Strom I_R zu berechnen. 

Bsp. 2.5.5/3: 
 

a)	Berechnen Sie für Bild 2.5.5/13 die Kenngrößen des Spannungs- und Stromquellenersatzschaltbildes für den zwischen den Klemmen AB liegenden aktiven Zweipol.
b)	Die Klemmen AB werden mit dem Lastwiderstand RL beschaltet. Wie muss das Spannungsverhältnis U2 / U1 gewählt werden, damit UAB = U1 ist?
c)	Geben Sie das unter b) gefragte Verhältnis für RL ® ¥ an.

Bsp. 2.5.5/4: 

Berechnen Sie mit Hilfe der Zweipoltheorie den Strom I_M in Bild 2.5.5/15.

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2.5.6 Stern-Dreieck-Transformation 

Die Stern-Dreieck-Transformation dient der Vereinfachung des passiven Netzwerkes. Die Umrechnung "Dreieck in Stern" liefert für die in Bild 2.5.6/1 eingezeichneten Widerstände die drei Gleichungen (2.5.6/1). Einen Sternwiderstand (z.B. R_A0) erhält man aus der Dreieckschaltung, indem man die beiden im Punkt A verbundenen Dreieckwiderstände miteinander multipliziert und durch den Ringwiderstand des Dreiecks dividiert. Die Umrechnung "Stern in Dreieck" geschieht mit den drei Gleichungen (2.5.6/2). Die Umrechnung von (2.5.6/2) in die Leitwertform ergibt die drei Gleichungen (2.5.6/3), an denen man die Dualitätsbeziehung zwischen Leitwert und Widerstand ablesen kann. 

Bsp. 2.5.6/1: 

Gesucht ist für Bild 2.5.6/2 der Gesamtwiderstand R_AB für R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R.

Bsp. 2.5.6/2: 
 

a)	Ermitteln Sie für die nichtabgeglichene Brücke in Bild 2.5.6/5 den Messwerkstrom IM, wenn U0 und alle Widerstände gegeben sind.
b)	Wie groß wird die Brückenspannung UM, wenn der Innenwiderstand Ri ® ¥ geht?
c)	Leiten Sie aus b) die Brückenabgleichbedingung ab.

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2.5.7 Zusammenschaltung eines aktiven und passiven Zweipols 

Schaltet man einen aktiven und einen passiven Zweipol an ihren Klemmen zusammen, so entsteht der einfache Stromkreis. Er besteht aus einem Generator (aktiver Zweipol), in dem eine bestimmte Energieform in elektrische Energie umgewandelt wird, die über die Leitungen und Klemmen dem sogenannten Verbraucher (passiver Zweipol) zugeführt wird. In diesem wird die elektrische Energie wieder in eine andere Energieform umgewandelt, z.B. in Wärme, wenn der passive Zweipol ein ohmscher Widerstand ist. 

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2.5.7.1 Klemmenspannung und -strom bei Belastung 

Bild 2.5.7.1/1 zeigt die Zusammenschaltung eines aktiven und passiven Zweipols. Der aktive Zweipol wird mit einer Ersatzspannungsquelle beschrieben, während in Bild 2.5.7.1/2 das Modell einer Ersatzstromquelle gewählt wird. Den normierten Klemmenstrom bei Belastung mit R_a erhält man aus Gl. (2.5.7.1/1), während die Gl. (2.5.7.1/2) die normierte Klemmenspannung bei Belastung beschreibt. Beide Modelle, Ersatzspannungsquelle bzw. Ersatzstromquelle, liefern natürlich das gleiche Strom-Spannungsverhalten an den äußeren Klemmen. Dieses Strom-Spannungsverhalten ist für 0 £ R_a / R_i < ¥ in Bild 2.5.7.1/3 dargestellt. 

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2.5.7.2 Übertragene Leistung und Wirkungsgrad 

Der Faktor  in Gl. (2.5.7.2/1) kann als Kurzschlussleistung  der Ersatzspannungsquelle gedeutet werden, d.h. als die Leistung , die bei kurzgeschlossenen Klemmen in dem inneren Widerstand der Spannungsquelle in Wärme umgesetzt wird. Diese Kurzschlussleistung ist bei einer Ersatzspannungsquelle eine konstante Größe. 

Normiert man die Gl. (2.5.7.2/1) mit dieser Kurzschlussleistung P_K, dann ergibt sich die Gl. (2.5.7.2/2).

Der Faktor I₀² × R_i   kann als Leerlaufleistung P_L = I₀² × R_i   der Ersatzstromquelle gedeutet werden. P_L stellt die Leistung dar, die bei offenen Klemmen (Ra ® ¥ ) in dem inneren Widerstand in Wärme umgesetzt wird. Diese Leerlaufleistung ist bei einer Ersatzstromquelle eine konstante Größe. 

Normiert man die Leistung P₀ mit dieser Leerlaufleistung P_L, dann ergibt sich die Gl. (2.5.7.2/3).

Die maximale Leistung, die von einem aktiven Zweipol abgegeben wird, berechnet sich mit Gl. (2.5.7.2/5). Diese Leistung tritt auf bei Leistungsanpassung (Gl. (2.5.7.2/4)).

Die Definitionsgleichung (2.5.7.2/6) beschreibt den Wirkungsgrad eines aktiven Zweipols . Bei der Ersatzspannungsquelle beträgt die innere Verlustleistung I² × R_i   und damit ergibt sich der Wirkungsgrad aus Gl. (2.5.7.2/7). Da bei der Ersatzstromquelle die innere Verlustleistung  beträgt, erhält man mit Gl. (2.5.7.2/8) den Wirkungsgrad der Ersatzstromquelle. 

Da der Wirkungsgrad willkürlich definiert wurde und kein Naturgesetz darstellt, erhält man unterschiedliche Werte für h _U und h _I, da die Berechnung vom physikalischen Aufbau des Generators abhängt. Deshalb lässt sich eine aktive Schaltung bei der Wirkungsgradberechnung nicht mehr beliebig als Strom- oder Spannungsquelle darstellen, da der innere Aufbau (innere Verlustleistung) bei der Wirkungsgraddefinition entscheidend ist. 

Bild 2.5.7.2/1 zeigt den Verlauf von h_U, h_I und P₀ als Funktion vom Lastwiderstand R_a. Bei Leistungsanpassung (R_a = R_i) ist nur ein Wirkungsgrad von h_U = h_I = 0,5 möglich. 

Bsp. 2.5.7.2/1: 

Der Verbraucher in Bild 2.5.7.2/2 benötigt eine bestimmte Leistung P_Ra (z.B. zur Beleuchtung). Diese Leistung kann mit großer oder kleiner Spannung übertragen werden, wobei der Verbraucherwiderstand R_a verschieden dimensioniert werden muss (z.B. Glühlampen gleicher Leistung P_Ra für 12 V oder für 240 V). 
 

a)	Gesucht: Ra = f (U0, Ri, RL, PRa). Wie groß muss U0 mindestens sein?
b)	Wie muss der Generator und der Verbraucher bei vorgegebenem Ri* ausgelegt werden, damit ein hoher Wirkungsgrad erreicht wird?

Bsp. 2.5.7.2/2: 

Eine Hochspannungsleitung aus Aluminium (A = 480 mm²) wird mit U₁ = 400 kV betrieben. Welche Leistung kann auf die Entfernung l = 600 km übertragen werden, wenn der Wirkungsgrad h = 92 % betragen soll? (r_Al = 0,02857 W mm²/m).

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©	1998-1999	by Duderstadt, Frank & Hohenstein, Steffen
	1999-2000	Überarbeitet von Jan Knickmeier & Timo Eich
	2002	Überarbeitet von Markus Mattern