4.1 Elektrische Feldstärke

Bringt man eine Ladung Q in das Kraftfeld einer anderen Ladung, so ist die Kraft F proportional der Ladung Q (Gl. (4.1/1)). Die Proportionalitätskonstante definiert man als die elektrische Feldstärke E. 

Die Feldstärkelinien beginnen und enden auf Ladungen und sind von der positiven zur negativen Ladung positiv definiert. Die gedachten Feldlinien quellen aus der positiven Ladung. Deshalb nennt man ein solches Feld ein Quellenfeld.

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4.2 Elektrisches Potential

Bezieht man die Spannungen aller Punkte auf einer Äquipotentiallinie auf den gleichen Bezugspunkt (0), so spricht man vom Potential j (Gl. (4.2/1)) des Punktes. Der Bezugspunkt ist frei wählbar und kann z.B. auch unendlich weit entfernt liegen (Gl. (4.2/2)); er besitzt das Potential j = 0.

Die elektrische Feldstärke in einem Punkt ist gleich dem Potentialgefälle längs eines Weg-Elementes in Richtung maximaler Potentialabnahme.

Zwischen zwei Äquipotentiallinien besteht überall die gleiche Spannung (Gl. (4.2/3)).

Ist der Integrationsweg in sich geschlossen, dann gilt für Potentialfelder die Gl. (4.2/4).

Ein Strömungsfeld bei Gleichstrom ist z.B. ein Potentialfeld.

Energetisch sagt Gleichung (4.2/4) aus, dass der gesamte Arbeitsaufwand zur Verschiebung einer Ladung längs eines in sich geschlossenen Weges im elektrischen Feld null ist. Bewegt man eine Masse im Gravitationsfeld der Erde und führt sie an die Ausgangsstelle zurück, so hat sie am Ende die gleiche potentielle Energie wie am Anfang.

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4.3 Das stationäre elektrische Strömungsfeld

Ein Feld, das sich zeitlich nicht ändert, nennt man stationär.

Die skizzierte Anordnung in Bild 4.3/1 besteht aus zwei Metallelektroden, zwischen denen sich ein homogenes leitendes Medium befindet. Die Spannung U erzeugt ein Spannungsfeld. Die Elektroden sollen ideal leitend sein (Äquipotentialflächen). Bild 4.3/2 zeigt die Feldstärke- und Äquipotentiallinien, wenn B als Bezugspunkt gewählt wird.

Äquipotentiallinien kann man im elektrolytischen Trog ausmessen.

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4.3.1 Das Strömungsfeld

Beim Leiter tritt nun außer dem Spannungsfeld auch noch ein Strömungsfeld auf. Es gibt an, wie sich der Strom I über den räumlichen Leiter verteilt. Das Strömungsfeld ist mit dem Spannungsfeld verkoppelt, da der Strom vom höheren zum tieferen Potential, also senkrecht zu den Äquipotentialflächen in Richtung der Feldstärke, fließt (Gl. (4.3.1/1) und Gl. (4.3.1/2)).

Das - und -Feld decken sich zwar in homogenen isotropen Medien. Ist jedoch das Medium inhomogen (c ist abhängig vom Ort), so unterscheiden sich auch die beiden Felder.

Der Strom wird durch Stromlinien dargestellt, die in Richtung der E-Linien verlaufen.

Bsp. 4.3.1/1:

Gesucht sind in Bild 4.3.1/1 die - und -Felder in den drei Leiterteilen. 

(c ₁: c ₂: c ₃ = 1 : 2 : 3).

Bsp. 4.3.1/2:

Gegeben sind zwei koaxiale Zylinderelektroden, zwischen denen sich ein leitendes Medium befindet (Bild 4.3.1/3).

a)	Berechnen Sie U(r), und skizzieren Sie die  -und -Felder sowie den Spannungsverlauf.
b)	Der Widerstand Rges ist zu ermitteln.

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4.3.2 Randbedingungen für das Strömungsfeld

Für das Strömungsfeld gelten die folgenden Randbedingungen:
 

a)	Das Strömungsfeld kann sich nicht unendlich ausbreiten, da der Leiter begrenzt ist.
b)	Wird das leitende Medium durch einen Nichtleiter begrenzt, so erzwingt dieser Rand dort eine Strömungsfläche. Die Äquipotentialflächen stehen also senkrecht auf dem Rand.
c)	Ist der Rand ein unendlich guter Leiter, sodass bei Stromdurchfluss kein Spannungsabfall entstehen kann, erzwingt er im Feldverlauf eine Äquipotentialfläche. Die Feldstärke- und auch die Strömungslinien stehen senkrecht auf diesem Rand.
d)	Der Feldverlauf ändert sich demnach nicht, wenn man eine Äquipotentialfläche durch einen unendlich guten Leiter oder eine Strömungsfläche durch einen Nichtleiter ersetzt.

Bsp. 4.3.2/1:

Skizzieren Sie für die beiden in Bild 4.3.2/1 dargestellten Elektrodenanordnungen den Verlauf der Feldstärke- und Äquipotentiallinien zwischen den Elektroden.

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4.3.3 Widerstandsberechnung räumlicher Leiter

Die Widerstandsberechnung räumlicher Leiter erfolgt mit der Gl. (4.3.3/1).

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Bsp. 4.3.3/1:

Gegeben ist in Bild 4.3.3/1 ein Eisenbügel mit der Leitfähigkeit c . Über die Elektroden B und C fließt der Strom I. Wie groß ist der Widerstand zwischen B und C?

Bsp. 4.3.3/2:

Gegeben ist die in Bild 4.3.3/2 dargestellte Leiteranordnung. Es handelt sich um einen sehr dünnen Leiter L₁, der vom Strom I durchflossen wird, und um die lange Metallwand L₂, deren Leitfähigkeit c ® ¥ betrage. Der dazwischenliegende Elektrolyt weist die Leitfähigkeit c ₀ auf.

Interaktive grafische Darstellung der Aufgabe
 

a)	Skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke.
b)	Berechnen Sie die elektrische Feldstärke   in Abhängigkeit vom Strom I.
c)	Wie groß ist die Feldstärke kurz vor der Metallwand ? Skizzieren Sie den Verlauf.

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4.4 Das elektrostatische Feld

Ein elektrostatisches Feld ist ein elektrisches Feld, das bei ruhenden Ladungen im nichtleitenden Medium (Dielektrikum) auftritt. Zwischen zwei entgegengesetzten, betragsmäßig immer gleich großen Ladungen existiert ein Kraftfeld, das durch die elektrische Feldstärke beschrieben und durch entsprechende Feldstärkelinien dargestellt werden kann.

Werden die in Bild 4.4/1 skizzierten Metallplatten durch Schließen des Schalters S an die Batterie angeschlossen, so bildet sich ein Spannungsfeld zwischen den Platten aus, bis nach dem Maschensatz

ist. Das setzt die "Aufladung" der Platten mit ± Q voraus. Diese "Aufladung" entsteht durch eine Ladungstrennung auf den Platten. Die Batterie treibt negative Ladungen (Elektronen) von der Platte A zur Platte B. Die Ladungstrennung erfolgt über die Leitung. Der Platte A fehlen dann so viele Elektronen, wie Platte B im Überfluss hat.

Es entsteht also ein Ladungspaar ± Q. Öffnet man den Schalter S, so bleibt das Feld erhalten, da das Ladungspaar sich durch den Nichtleiter nicht vereinigen kann.

Die Feldstärke in einem Feldpunkt zwischen den Platten ist außer von der Ladung Q noch von der Art des Dielektrikums abhängig. Befinden sich die Platten mit der Ladung ± Q im Vakuum, so misst man in einem Feldpunkt die Feldstärke E₀, bei einem Dielektrikum (z.B. Öl) die Feldstärke E₁, die kleiner ist als E₀. Bei homogenem Dielektrikum ist für Q = konstant das Verhältnis E₀ : E₁ in allen Feldpunkten gleich (Gl. (4.4/1)).

e _r nennt man die relative Dielektrizitätskonstante. Man führt nun in Gl. (4.4/2) die elektrische Erregung  ein, die bei konstanter Ladung unabhängig von der Art des Dielektrikums ist. Gl. (4.4/3) beschreibt die absolute Dielektrizitätskonstante e .

Die Ladungstrennung (Influenz) in Bild 4.4/2 geht so weit, bis der Leiter feldfrei ist.

± Q_i erzeugt im Innern des Metallstücks eine Feldstärke, die ebenso groß wie die von ± Q herrührende Feldstärke, ihr aber entgegengerichtet, ist.

Dadurch wird das Leiterinnere feldfrei, der Leiter könnte also auch hohl sein (abschirmende Wirkung von Metallhüllen, innerhalb deren sich keine Überschussladungen befinden).

Die Ladung Q_i in Bild 4.4/2 ist abhängig von der Fläche A, die senkrecht zu der elektrischen Erregung  steht.

Man erhält in Bild 4.4/3 den Erregungsfluss durch eine im Feldraum liegende Fläche A, indem man die auf den Flächenelementen dA senkrecht stehenden Komponenten der Erregung D, also das Skalarprodukt , über die gesamte Fläche A integriert (Gl. (4.4/4)).

Umgibt man in Bild 4.4/4 eine Elektrode (+Q) mit einer Metallhülle, so influenziert die umhüllte Ladung eine gleich große Ladung. Unabhängig von Größe und Lage dieser Hülle und unabhängig vom Medium (Dielektrikum) verschiebt das Feld der Ladung Q in der Metallhülle immer die gleiche Gesamtladung Q_Hülle = Q (Bild 4.4/5).

Die Größe des Hüllenflusses y _Hülle in Bild 4.4/6 ist unabhängig von der geometrischen Form der Hüllenfläche und deren Lage relativ zur eingeschlossenen Ladung (durch die Hülle A₁ und A₂ tritt jeweils die gleiche Zahl von Erregungslinien) (Gl. (4.4/5)).

Mit Hilfe des Überlagerungssatzes folgt für n in der Hülle beliebig verteilten Ladungen Q_i die Gl. (4.4/6). Für beliebige Ladungsverteilungen hat der Gauß'sche Satz die in Gl. (4.4/7) dargestellte allgemeine Form.

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4.4.1 Ladungsverteilungen

Zur Beschreibung von Ladungsverteilungen benutzt man die vier folgenden Ladungsdefinitionen:
 

a)	Die Raumladung ist die stetige Verteilung einer Ladung Q über ein Raumgebiet V mit der Raumladungsdichte r (Gl. (4.4.1/1)).
b)	Die Flächenladung ist definiert als stetige Verteilung einer Ladung Q auf einem flächenhaften Träger der Größe A und der Dicke null mit der Flächenladungdichte s (Gl. (4.4.1/2)).
c)	Als Linienladung bezeichnet man die stetige Verteilung einer Ladung Q auf einem linienförmig angenommenen Träger der Länge l und der Querschnittsabmessungen null mit der Linienladungsdichte l (Gl. (4.4.1/3)).
d)	Unter einer Punktladung versteht man eine Ladung Q, deren Träger mit den Linearabmessungen null angenommen wird.

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4.4.2 Coulomb'sches Gesetz

Bild 4.4.2/1 zeigt die Erregungslinien der ungestörten Ladung Q₁, wenn die negative Gegenladung im Unendlichen liegt. Denkt man sich eine beliebig weit entfernte Kugelfläche um Q₁, dann lässt sich die Feldstärke im Punkt der zweiten Ladung Q₂ berechnen. Q₁ wirkt wie eine Antenne (Kugelstrahler). Mit der Gl. (4.4.2/1) erhält man die Kraft auf die Ladung Q₂ im Feld der Ladung Q₁.

Das Coulomb'sche Gesetz gilt streng nur für Punktladungen, näherungsweise aber auch für geladene Körper, deren Linearabmessungen klein gegenüber deren Abstand sind. Wirkt in einem Raumpunkt auf eine Ladung Q eine Kraft F, so herrscht in diesem Raumpunkt eine elektrische Feldstärke. Man erkennt die zweifache Rolle, die der elektrischen Ladung in der Feldtheorie zukommt:
 

1. Die elektrische Ladung erregt in ihrer Umgebung ein elektrostatisches Feld.

2. Die elektrische Ladung erfährt im elektrostatischen Feld eine Kraftwirkung.

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4.4.3.1 Überlagerungssatz

Eine positive Punktladung erregt ein radial nach außen gerichtetes Feld des Betrages D (Gl.(4.4.3.1/1)).

Führt man den von der erregenden Ladung zum Punkt P weisenden Ortsvektor  ein, wobei , so erhält man mit Gl.(4.4.3.1/2) das Erregungsfeld  einer Punktladung.

Die Gl.(4.4.3.1/3) beschreibt die elektrische Feldstärke  dieser Punktladung im Abstand r.

Die resultierende elektrische Erregung  mehrerer Punktladungen Q_i ergibt sich als geometrische Summe der Einzelerregungen (Gl.(4.4.3.1/4)).

Die resultierende Feldstärke  erhält man daraus mit der Gl.(4.4.3.1/5).

Wegen der Linearität zwischen Ursache und Wirkung dürfen auch unmittelbar die Feldstärkevektoren superponiert (überlagert) werden (Gl.(4.4.3.1/6)).

Das kugelsymmetrische Feld in Bild 4.4.3.1/3 entsteht durch die Überlagerung zweier Punktladungsfelder, während durch die Überlagerung zweier unendlich langer gerader Linienladungen das Feld der Doppelleitung entsteht (in einer Ebene). Die Feld- und Äquipotentiallinien in Bild 4.4.3.1/3 sind Kreise. Überlagert man zwei unendlich lange geladene Zylinderflächen (Bild 4.4.3.1/4), dann erhält man das Feldbild eines Zylinderkondensators bzw. einer Koaxialleitung. Das Feldbild eines Plattenkondensators ist in Bild 4.4.3.1/5 dargestellt.

Die Überlagerung der Felder flächenhafter Ladungsverteilungen ist nur dann zulässig, wenn dabei die geometrische Feldform unverändert bleibt.

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4.4.3.2 Das Coulomb - Integral

Enthält der Raum stetige Ladungsverteilungen, so hat man die Einzelladungen Q_i in Gl.(4.4.3.1/4) durch infinitesimale Ladungsmengen dQ und die Summierung durch eine Integration zu ersetzen.

Der in Gl.(4.4.3.1/4) für Punktladungen formulierte Überlagerungssatz geht damit über in das Coulomb - Integral. (Gl.(4.4.3.2/1) beschreibt eine Linienladung, Gl.(4.4.3.2/2) eine Flächenladung und die Gl.(4.4.3.2/3) gilt für eine Raumladung.

Die Auswertung des Coulomb - Integrals für kompliziertere Ladungsverteilungen wird wesentlich durch die Einführung des Potentialbegriffs erleichtert. Damit wird die Summierung von Vektoren auf die von skalaren Größen zurückgeführt.

Das resultierende Potential in einem Raumpunkt ist gleich der Summe der Einzelpotentiale (Gl.(4.4.3.2/4)).

Bei stetigen Ladungsverteilungen l, s oder r (Bilder 4.4.3.2/1 bis 4.4.3.2/3) tragen zum resultierenden Potential j die von den Ladungselementen l × dl, s × dA bzw. r × dV verursachten Teilpotentiale dj bei (Gl.(4.4.3.2/5)).

So hat das in Bild 4.4.3.2/4 skizzierte -Feld der Punktladung Q gegenüber einem unendlich fernen Bezugspunkt (r₁ = r, r₂ ® ¥) das Potential j (Gl.(4.4.3.2/6)).

Fasst man die Ladungselemente l × dl, s × dA und r × dV als infinitesimale Punktladungen auf, so ergibt sich mit den Gleichungen (4.4.3.2/6) und (4.4.3.2/5) die Potentialform des Coulomb-Integrals (Gl.(4.4.3.2/7)).

Aus dem resultierenden Potential j lässt sich das Potentialfeld zeichnen und daraus die resultierende elektrische Feldstärke.

Das Coulomb-Integral führt immer dann zum Ziel, wenn die räumliche Verteilung der Ladung bekannt ist (z. B. bei Punkt- und Linienladungen). Bei Flächenladungen versagt in der Regel das Coulomb-Integral, weil sich die Ladungen in der Leiteroberfläche frei verschieben können, da die Verteilung von dem sich einstellenden resultierenden Feld bestimmt wird.

Bsp. 4.4.3.2/1:

Berechnen Sie das in Bild 4.4.3.2/5 skizzierte Feld einer unendlich langen geraden Linienladung mit der konstanten Ladungsdichte l. 

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4.4.4 Kapazität

Vergrößert man in Bild 4.4.4/1 die Spannung U, so lässt sich messtechnisch zeigen, dass auch die Ladung Q proportional wächst. Der Proportionalitätsfaktor wird Kapazität C genannt (Gl.(4.4.4/1)).

Die Kapazität C gibt an, wie groß die in einem Kondensator gespeicherte Ladung ist, wenn er auf Grund dieser Ladung eine Klemmenspannung U aufweist. Die Kapazität ist abhängig von der Gestalt und Anordnung der Elektroden und der Art des Dielektrikums (e). Aus den Feldgrößen erhält man die Ladung und Spannung positiv, wenn man das Hüllenintegral der Erregung über die positive Ladung und das Linienintegral der Feldstärke von +Q nach -Q bildet (Gl.(4.4.4/2)). Die Kapazität C ist positiv definiert.

Bsp. 4.4.4/1:

Berechnen Sie die Kapazität des in Bild 4.4.4/3 skizzierten Plattenkondensators (inhomogenes Randfeld wird vernachlässigt).

Bsp. 4.4.4/2:
 

a)	Ermitteln Sie für Bild 4.4.4/4 die Kapazität eines Kugelkondensators, bestehend aus zwei konzentrischen Metallkugeln mit den Radien ri und ra, und leiten Sie daraus die Kapazität einer Kugel mit dem Radius ri = 1cm in Luft gegenüber einer unendlich weit entfernten Elektrode ab.
b)	Wie groß muss der Radius ra der äußeren Kugel mindestens sein, damit die Kapazität um nicht mehr als 10% gegenüber der bei ra ® ¥ abweicht?

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4.4.4.1 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

Für die in Bild 4.4.4.1/1 skizzierte Parallelschaltung berechnet sich die Gesamtkapazität mit der Gl.(4.4.4.1/1). Gl.(4.4.4.1/2) beschreibt die Ladungsaufteilung bei zwei parallelgeschalteten Kapazitäten.

Für die in Bild 4.4.4.1/2 dargestellte Serienschaltung ergibt sich die Gesamtkapazität aus Gl.(4.4.4.1/3).

In einem Kondensator müssen die beiden Flächenladungen +Q und -Q gleich groß sein. Außerdem muss z. B. die positive Ladung Q₂ auf der oberen Platte von C₂ genauso groß sein wie die negative Ladung -Q₁ auf der unteren Platte von C₁ (als Folge der Ladungstrennung bei der Aufladung).

Für die Serienschaltung von zwei Kapazitäten gilt die Gl.(4.4.4.1/4). Gl.(4.4.4.1/5) beschreibt die Spannungsaufteilung bei zwei seriell geschalteten Kapazitäten.

Bsp. 4.4.4.1/1:

Ein Luftdrehkondensator mit maximaler Kapazität C_{1 max} = 500 pF und mit linearer Abhängigkeit der Kapazität vom Drehwinkel (0° bis 180°) wird mit einem Festkondensator C₂ = 200 pF
 

a)	parallel
b)	in Reihe geschaltet.

Stellen Sie die Abhängigkeit der Gesamtkapazität vom Drehwinkel grafisch dar.

Bsp. 4.4.4.1/2:

Zwischen den in Bild 4.4.4.1/5 skizzierten Platten eines Plattenkondensators, der eine Ladung Q trägt und dessen Feld homogen angenommen wird, befindet sich eine planparallele Metallplatte P der Dicke d. Berechnen Sie die Kapazität C dieses Kondensators in Abhängigkeit von der Lage x der Platte,
 

a)	wenn sie mit der Elektrode B,
b)	wenn sie mit der Elektrode A leitend verbunden,
c)	wenn sie isoliert ist.

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4.4.4.2 Teilkapazitäten bei mehr als zwei Elektroden

Bsp. 4.4.4.2/1:

Gegeben ist die in Bild 4.4.4.2/1 skizzierte Gleichstromleitung; die Erde wird als leitende Platte beschrieben. Ermitteln Sie die Betriebskapazität und die Ladungsverteilungen für die zwei Betriebsfälle.

Unter Teilkapazitäten versteht man das Verhältnis der durch Erregungslinien miteinander verbundenen - betragsmäßig gleichen - Teilladungen DQ bzw. Teilerregungsflüsse y zweier Elektroden zu der zwischen diesen herrschenden Spannung. Die Teilkapazitäten sind abhängig von der Lage und Größe aller Körper im Feld. Die Größe der Teilkapazitäten hängt nicht vom Betriebszustand der Anordnung ab.

Die Betriebskapazität setzt sich aus den einzelnen Teilkapazitäten zusammen und ist abhängig vom Betriebszustand.

Die in Bild 4.4.4.2/3 dargestellten Teilkapazitäten berechnen sich mit den Gleichungen (4.4.4.2/1), wobei zwischen den Teilladungen DQ = y und den Gesamtladungen Q der Leiter der in Gl.(4.4.4.2/2) beschriebene Zusammenhang besteht (siehe Feldverlauf in Bild 4.4.4.2/2).

Bsp. 4.4.4.2/2:

Der Kugelkondensator in Bild 4.4.2/6 besteht aus drei Metallhohlkugeln (K₁, K₂, K₃).
 

a)	Zeichnen Sie den Verlauf des elektrischen Feldes entlang dem Radius r, wenn die Kugel K1 die Ladung Q aufweist.
b)	Berechnen Sie die Kapazität der Anordnung.

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4.4.5 Polarisation

Im idealen, d.h. absolut nichtleitenden, Dielektrikum ist keine Ladungsströmung möglich. Bei Einwirken eines elektrischen Feldes kommt es lediglich zu elastischen Verschiebungen der Ladungsträger innerhalb der Moleküle (Polarisation), wodurch das von außen aufgeprägte Feld jedoch ebenfalls verändert wird. Man unterscheidet zwei Polarisationsformen:
 

1.	Die dipolfreien Moleküle unpolarer Dielektrika werden im elektrischen Feld deformiert. Ihre Ladungsschwerpunkte verschieben sich in Richtung der angreifenden Feldkräfte, d.h., es entstehen Dipole (Bild 4.4.5/1).
2.	Bei polaren Dielektrika haben die Moleküle bereits ohne Einwirken eines äußeren Feldes Dipolverhalten. Die molekularen Dipolfelder heben sich jedoch infolge ihrer regellosen Orientierung im räumlichen Mittel auf. Im Feld tritt außer der elektrischen Deformation, also einer Abstandsvergrößerung der Ladungsschwerpunkte, eine Ausrichtung der Dipole auf (Bild 4.4.5/2).

Dem primären Feld ₀ wird ein durch die innere Ladungstrennung erregtes Polarisationsfeld _p überlagert, das dem primären Feld entgegenwirkt. Das resultierende Feld ergibt sich aus Gl.(4.4.5/1), wenn _p theoretisch berechnet wird.

Die Verbindung zwischen  und  erfolgt mit der Gl. (4.4.5/2), wobei e_r als relative Dielektrizitätskonstante bezeichnet wird.

Für die folgenden Stoffe wurde e_r messtechnisch bestimmt:
 

Material	er
Öl Glimmer, Hartpapier Glas Wasser Bariumtitanat	2,2 - 2,5 5 - 7 bis 15 81 4.000 - 10.000

Wegen C ~ e_r vergrößert sich die Kapazität, d.h. die Fähigkeit, Ladungen zu speichern, wenn e_r vergrößert wird. Diese Ladungsspeicherung ist in Bild 4.4.5/3 skizziert.

_an kompensiert in Bild 4.4.5/3 zum Teil die abstoßende Wirkung von _ab, sodass mehr Ladungen gespeichert werden können.

Die dielektrische Polarisation in Isolierstoffen stellt eine kurzzeitige Ladungsbewegung (Ladungsverschiebung), also einen kurzen Strom dar. Bei einem zeitlich konstanten Gleichfeld handelt es sich nur um einen einmaligen Verschiebungsstoß. Im Wechselfeld erfolgt jedoch eine fortlaufende Umpolarisation, sodass die Ladungen hin und her schwingen und sich dieser Strom von einem Leitungsstrom nur durch die viel kleineren, von den Ladungen zurückgelegten Wege unterscheidet.

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4.4.6 Die elektrischen Feldgrößen an Grenzflächen

Bei der Ableitung der elektrischen Feldgrößen an Grenzflächen wird für Bild 4.4.6/1 vorausgesetzt, dass die Grenzschicht flächenladungsfrei sei.

In dem kleinen Volumenelement DV = Dx × Dy × Dz sei das Feld homogen. Mit dem Gauß'schen Satz gilt für die Oberfläche des Volumenelementes die Gl.(4.4.6/1).

Damit erhält man die Gl.(4.4.6/2). Bildet man das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke auf dem Rand der in Bild 4.4.6/2 schraffierten Fläche Dx × Dy, so ergibt sich die Gl.(4.4.6/3).

Gl.(4.4.6/4) sagt aus, dass die Tangentialfeldstärken an einer Grenzschicht gleich groß sein müssen.

Bsp. 4.4.6/1:

Zeichnen Sie das  - und  -Feld für die in Bild 4.4.6/3 skizzierte Kondensatoranordnung

a)	vor und
b)	nach dem Ausfüllen der oberen Hälfte des Raumes zwischen den Platten mit einem Dielektrikum der relativen Dielektrizitätskonstanten er = 3.

Das Dielektrikum wird 

a)	bei geschlossenem Schalter S,
b)	bei geöffnetem Schalter S (Platten aber bereits aufgeladen) eingebracht.

Bsp. 4.4.6/2:

Die Elektroden des in Bild 4.4.6/7 skizzierten Plattenkondensators tragen die Ladung ±Q.

a)	Zeichnen Sie das  - und  -Feld  a) für er1 = 1 b) für er1 = 3.
b)	Berechnen Sie die Spannungsverläufe längs x für a) und b), und stellen Sie diese in einem Diagramm dar.

Bsp. 4.4.6/3:

Gegeben ist das in Bild 4.4.6/11 skizzierte konzentrische Kabel (Länge l) mit geschichteter Isolierzwischenschicht.
 

1.	Kunstharz	(er1 = 5)
2.	Hartgummi	(er2 = 3)
3.	Luft	(er3 = 1)

Vorgegeben ist die Elektrodenladung Q. Berechnen Sie und stellen Sie grafisch dar:
 

a)	D(r), bezogen auf Di an der Oberfläche des Innenleiters.
b)	Die Feldstärke zwischen Innen- und Außenleiter. Wie sieht im Vergleich  aus, wenn das gesamte Dielektrikum aus Luft besteht?
c)	Wie groß ist die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter?
d)	Berechnen Sie die Kapazität für das geschichtete Dielektrikum und für die Luft.
e)	Wie verhält sich der Feldstärkeverlauf gegenüber dem in Luft, wenn in beiden Fällen gleiche Spannung U angenommen wird?

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4.4.7 Die Influenz (elektrische Induktion)

Das elektrostatische Feld in elektrischen Leitern ist stets null. Dieser Eigenheit des Feldes liegt ein physikalischer Vorgang zugrunde, den man Influenz oder elektrische Induktion nennt. Bringt man in das elektrische Feld eines Plattenkondensators senkrecht zur Feldrichtung zwei sich berührende ungeladene Leiterplättchen vernachlässigbarer Dicke, so bewirken die Coulombkräfte eine solche positive oder negative Influenzladung Q auf den äußeren Oberflächen der Plättchen, dass deren Inneres feldfrei wird. Dieser Influenzvorgang verläuft nach Einbringen der Plättchen (Bild 4.4.7/1) folgendermaßen:
 

a)	Infolge der Beweglichkeit der Ladungsträger folgen diese den auf sie wirkenden Feldkräften, was zur Ladungstrennung führt.
b)	Die getrennten Ladungen erregen ihrerseits ein Feld ' in den Plättchen, welches dem primären Feld  entgegenwirkt.
c)	Die Ladungstrennung hört auf, wenn die Feldkräfte des primären und des Influenzfeldes im Gleichgewicht sind (' = -), d.h. das Innere der Plättchen feldfrei ist. Auf den äußeren Oberflächen der Plättchen befinden sich dann Flächenladungen Q', deren Dichte s' gleich der der Kondensatorplatten ist (s' = s, d.h. Q' = Q × A'/A).
d)	Trennt man die Plättchen voneinander und entfernt sie dann aus dem Kondensator, d.h., entfernt man für die getrennten Plättchen das äußere Feld , so verbleibt deren Eigenfeld ', das auch gemessen werden kann, z.B. über den Entladestrom dQ'/dt.

Der Versuch kann dazu dienen, elektrostatische Felder experimentell nachzuweisen.

Die Bilder 4.4.7/2 und 4.4.7/3 zeigen jeweils die elektrostatische Schirmung gegen ein äußeres Feld.

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4.4.8 Energie des elektrostatischen Feldes

Verschiebt man zwei Punktladungen entgegen den wechselseitig an ihnen angreifenden Coulombkräften, so ist dazu eine Arbeit aufzuwenden. Dieser Vorgang ist umkehrbar; die Arbeit wird zurückgewonnen, wenn die Ladungen den auf sie wirkenden Kräften nachgeben können. Das bedeutet, dass eine dem System zugeführte mechanische Energie reversibel in elektrostatische Feldenergie überführt wird.

Im elektrostatischen Feld ist Energie gespeichert.

Eine differentiell kleine positive Ladung dQ wird in Bild 4.4.8/1 durch Ladungstrennung aus der Elektrode 2 herausgelöst und entlang einer Feldlinie zur Elektrode 1 verschoben.

Nach Ablauf der Ladungsbewegung ist die Ladung beider Elektroden betragsmäßig um dQ, die Spannung zwischen den Elektroden um  und die Feldenergie um dW vergrößert. Denkt man sich den Vorgang, mit ungeladenem Kondensator beginnend, hinreichend oft wiederholt, so erhält man die Gesamtenergie des geladenen Kondensators mit der Gl.(4.4.8/1).

Praktisch erfolgt die mit der Ladungstrennung verbundene Energiezufuhr in der Regel nicht mechanisch über eine Ladungsbewegung entgegen den Feldkräften im Feldraum, sondern elektrisch über den Strom einer außen angeschlossenen Spannungsquelle (Bild 4.4.8/2).

Nach Schließen des Schalters S fließt ein abklingender Strom , der die Ladungstrennung bewirkt. Infolge der proportional Q(t) ansteigenden Kondensatorspannung nimmt der Kondensator pro Zeit die elektrische Energie  auf (Gl.(4.4.8/2)).

Spätestens bei t ® ¥ ist die Kondensatorspannung u(t), die allgemein eine beliebige Funktion der Zeit sein kann, gleich U; infolge  ist der Ladevorgang beendet. Der Kondensator hat dann die elektrische Arbeit W (Gl.(4.4.8/3)) aufgenommen und in Feldenergie überführt. Aufschluss über die Energiedichte, d.h. die Verteilung der Feldenergie über den Feldraum, gewinnt man aus der Untersuchung des idealen Plattenkondensators (Bild 4.4.8/3).

Die im Plattenkondensator gespeicherte Energie berechnet sich mit Gl.(4.4.8/4), während sich die Energiedichte aus Gl.(4.4.8/5) ergibt.

In differentiell kleinen Volumenelementen inhomogener Feldräume (Bild 4.4.8/4) ist das Feld (dem des Plattenkondensators in Bild 4.4.8/3 vergleichbar) als homogen anzusehen, sodass die Gl.(4.4.8/5) auch für die Energiedichte dW/dV inhomogener Felder gilt (Gl.4.4.8/6)).

Durch Integration über das Volumen V ergibt sich dann die Gl.(4.4.8/7).

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4.4.9 Kräfte zwischen geladenen elektrischen Flächen

Die anziehende Feldkraft auf die Ladungen (Platten) soll dadurch berechnet werden, dass die Energieänderung des elektrischen Feldes dW_el bestimmt wird, wenn die Platten um ein differentiell kleines Stück dx in Richtung der Feldkraft F verschoben werden (Q = konstant in Bild 4.4.9/1).

Die Feldenergie  nach Gl.(4.4.8/1) wird bei Annäherung der Platten um dx kleiner, denn  wird größer. Dieser "Verlust" an Feldenergie ist gleich der Arbeit F×dx zur Verschiebung der Platte. Daraus erhält man die Gl.(4.4.9/1), während die Gl.(4.4.9/2) für ein homogenes Feld (idealer Plattenkondensator) gilt.

Bsp. 4.4.9/1:

Berechnen Sie die Kraft F in Bild 4.4.9/2 für U = konstant.

Durch Veränderung des Plattenabstandes um dx infolge der Kraftwirkung (Bild 4.4.9/2) wird C um dC größer. Bei U = konstant wächst aber dadurch nach Q = C×U die Ladung um dQ. Für diese Ladungsänderung ist ein Strom i erforderlich, der eine kleine Zeitspanne dt fließt; denn es gilt dQ = i×dt = U×dC. Die Batterie liefert die Energie dW_B = U×i×dt. Durch die Ladungsänderung erhöht sich gleichzeitig die Feldenergie um dW.

Bei Q = konstant in Bild 4.4.9/1 wurde die Feldenergie kleiner, da mechanische Energie gewonnen wurde. Bei U = konstant im Bsp. 4.4.9/1 liefert die Batterie die Energie für die mechanische Änderung und zusätzlich einen Anteil zur Vergrößerung der Feldenergie.

Bsp. 4.4.9/2:

Ein Plattenkondensator (Bild 4.4.9/3) besitzt ein geschichtetes Dielektrikum. Wie groß ist die Kraft auf die Trennfläche der Dielektrika und in welcher Richtung wirkt sie?

Die Kraft F in Gl.(4.4.9/3) ist positiv, d.h. sie hat das Bestreben, d₂ in Bild 4.4.9/3 zu vergrößern, wenn e₂ größer als e₁ ist.

Allgemein gilt:

Die Kraft auf die Trennfläche zweier Dielektrika wirkt in Richtung des Stoffes mit kleinerem e.
 
 

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4.5 Veränderliches elektrisches Feld im Nichtleiter

Ändert sich die Ladung eines Kondensators (z.B. beim Anlegen an eine Batterie oder durch Änderung der Spannung), so muss ein Strom in den Zuführungsleitungen fließen (Bild 4.5/1).

Ist die Kapazität C eine Konstante, dann gilt die Gl.(4.5/1).

Die Größe u_C in Gl.(4.5/2) ist in Richtung von i_C positiv definiert (Kapazität als Zweipol).

Es ist zu beachten, dass die Größe  nur die von dem Strom i_C herrührende Spannungsänderung darstellt. Der gesamte Spannungsabfall (Potentialdifferenz) über dem Kondensator berechnet sich mit Gl.(4.5/3). Dabei ist K die Integrationskonstante, d. h. diejenige Kondensatorspannung, die vor dem Auftreten von i_C bereits vorhanden war. Deren positive Richtung ist durch  festgelegt. Bei u_C = konstant ist i_C = 0. Bei Spannungsabnahme (Entladung), d. h. , fließt der Leitungsstrom in umgekehrter Richtung.

Solange ein Leitungsstrom fließt, ändert sich die Ladung auf den Kondensatorplatten und dadurch der Verschiebungsfluss im nichtleitenden Medium. Es gilt die Gl. (4.5/4).

In jedem Punkt des Dielektrikums tritt also eine zeitliche Änderung der Verschiebungsflussdichte auf.

Experimentell kann man nun eine Gemeinsamkeit zwischen dem Leitungsstrom i_C in der Zuleitung und der zeitlichen Änderung des Verschiebungsflusses in der nichtleitenden Strecke feststellen (z.B. mit einer Magnetnadel). Die Gemeinsamkeit ist ein Magnetfeld. Da man begrifflich ein Magnetfeld immer mit einem Strom verknüpft, kann man auch dem Nichtleiter bei zeitlicher Änderung des Verschiebungsflusses eine Stromerscheinung zuschreiben und nennt diese den Verschiebungsstrom (Gl.(4.5/5)).

Der Knotenpunktsatz gilt auch an der Trennfläche Leiter-Nichtleiter, wenn man ihn für den Strom im erweiterten Sinne aufstellt.

Die Stromdichte des Leitungsstromes  nach Gl.(1.2.1/4) ist ein Vektor, also muss J_V in Gl.(4.5/6) auch ein Vektor sein (Gl.(4.5/7)).

Die positive Richtung ist bei  als Richtung des Vektors  definiert. Bei  (zeitliche Abnahme des Verschiebungsflusses) haben  und _V demnach entgegengesetzte Richtung.

Die zeitliche Änderung  der elektrischen Erregung verursacht eine magnetische Erregung  analog wie die Stromdichte des Leitungsstromes. Bei 50 Hz ist die Verschiebungsstromdichte infolge der geringen Änderungsgeschwindigkeit  der elektrischen Erregung um etliche Zehnerpotenzen kleiner als die üblichen Stromdichten und daher gegen diese stets vernachlässigbar. In der Hochfrequenztechnik (Wellenausbreitung) dagegen ist die Verschiebungsstromdichte eine wichtige Größe.

Bsp. 4.5/1:

Der Kondensator C in Bild 4.5/2 wird nach der skizzierten Zeitfunktion auf- bzw. entladen.

Zeichnen Sie für die Zeiten t = 2 sec, 8 sec und 11 sec
 

a)	die Felder der elektrischen Erregung ,
b)	die Stömungsfelder des Leitungs- und Verschiebungsstromes.
c)	Zeichnen Sie maßstabsgerecht den zeitlichen Verlauf des Verschiebungsstromes durch den Plattenkondensator (A = 400 cm2, er = 10, d = 1 mm).

Bsp. 4.5/2:

Ein Kondensator der Kapazität C = 2 µF, der mit ±Q = 4×10^-4 Asec aufgeladen ist, wird über einen Widerstand R = 2 MW entladen (Bild 4.5/6).
 

a)	Berechnen Sie allgemein die Zeitfunktion für Strom und Kondensatorspannung bei der Entladung des Kondensators.
b)	Tragen Sie die Funktion unter Verwendung der gegebenen Zahlenwerte grafisch auf und berechnen Sie, nach welcher Zeit der Funktionswert auf den halben Anfangswert abgesunken ist und nach welcher Zeit er nur noch 5% des Anfangswertes beträgt.

Bsp. 4.5/3:

Ein geladener Elektrolytkondensator von C = 25 µF wird isoliert aufgestellt.

Nach 10 min ist die Spannung um 10% vom Anfangswert abgesunken. Wie groß ist der Leckwiderstand des Kondensators?

Bsp. 4.5/4:

Ein verlustlos angenommener Kondensator C = 3 µF wird mit einem konstanten Strom I = 3 mA aufgeladen und anschließend über einen Widerstand R = 1 MW entladen.
 

a)	Nach welcher Aufladezeit wird die Spannung U0 = 2 kV erreicht? Wie groß ist dann die Ladung Q0 und die gespeicherte Energie W0?
b)	Berechnen Sie die Funktion der Leistung p(t) bei der Entladung.
c)	Berechnen Sie die an den Widerstand bei völliger Entladung des Kondensators abgegebene Energie.
d)	Stellen Sie den Verlauf von uC, iC und p für die Auf- und Entladung maßstabsgerecht über der Zeit dar.

Bsp. 4.5/5:

Der Kondensator C = 1 µF ist auf U₁ = 12 V aufgeladen und wird durch Schließen des Schalters S entladen (Bild 4.5/16).
 

a)	Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung auf 1V abgesunken?
b)	Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung null?
c)	Welche Energien wurden in den Widerständen R1, R2 und R3 in Wärme umgesetzt, wenn der Kondensator vollkommen entladen ist?

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	2002	Überarbeitet von Markus Mattern