5 Das magnetische Feld
   
5.1 Beschreibung und Darstellung
5.2 Die vektoriellen Feldgrößen
5.2.1 Die Induktion B
5.2.2 Die magnetische Erregung H
5.2.3 Berechnung der vektoriellen Feldgrößen in unendlich ausgedehnten, magnetisch homogenen Räumen (m = konst.)
5.2.3.1 Überlagerungssatz
5.2.3.2 Die praktische Berechnung des Magnetfeldes stromdurchflossener Leiter (Biot - Savart'sches Gesetz)
5.3 Integrale Größen des magnetischen Feldes
5.3.1 Die magnetische Spannung V
5.3.1.1 Der Durchflutungssatz
5.3.2 Der magnetische Fluss F
5.3.3 Definition der Induktivität L und der Gegeninduktivität M
5.4 Die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
5.5 Eigenschaften des magnetischen Feldes



5.1 Beschreibung und Darstellung

Der Name Magnet stammt vom Ort Magnesia in Kleinasien, in dessen Gegend man im Altertum eisenhaltige Erze fand, an denen man die damals unbekannten magnetischen Kraftwirkungen entdeckte.
Das eigentliche Wesen des magn. Feldes ist heute noch genau so ungeklärt wie das des elektr. oder des Gravitationsfeldes. Man muss sich also auch hier darauf beschränken, bestimmte experimentell beobachtete Naturphänomene mit möglichst allgemeingültigen Modellvorstellungen zu deuten und mathematisch zu beschreiben. Wie Massen oder elektr. Ladungen Kräfte aufeinander ausüben, so lässt sich nachweisen, dass die Bewegung von Ladungen ebenfalls Kraftwirkungen auslöst. Der Physiker Ampere hatte erkannt, dass elektr. Ströme die Ursache des Magnetismus sind. Man kann auf Grund von Beobachtungen annehmen, dass alle magn. Erscheinungen durch Elektronenbewegungen verursacht werden.
Es lässt sich experimentell beobachten, dass zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2 unabhängig von ihren Geschwindigkeiten entsprechend Gl.(4.4.2/1) Kräfte Fel wirken, die formal über das elektr. Feld beschrieben werden. Bewegen sich die Ladungen mit den Geschwindigkeiten v1 und v2, so werden weitere Kräfte Fmag wirksam, deren Ursache nicht allein in der Ladung, sondern in dem Zusammenwirken von Ladung und Geschwindigkeit zu sehen ist. Man beschreibt diese allein aus der Bewegung der Ladung resultierende Kraftwirkung formal über das magnetische Feld.
Im Folgenden seien die durch die Bewegung zweier Ladungen Q1, Q2 verursachten - zwischen diesen wirkenden - Kräfte betrachtet, und zwar für den einfachsten Sonderfall zweier parallel zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Ladungen, da dieser Sonderfall durch skalare Größen beschrieben werden kann, und so am augenfälligsten die Analogie zum elektr. Feld zum Ausdruck gebracht wird. Zumindest näherungsweise ließe sich eine solche Gegebenheit realisieren durch zwei im Abstand r parallel gegenüberliegende Leiterstückchen der Länge Δ s und dem Querschnitt A, die vom Strom I durchflossen werden (Bild 5.1/2).
Man kann nun feststellen, dass die auf die Leiterelemente, d.h. primär auf die bewegten Ladungen, ausgeübte Kraftwirkung proportional ist dem Produkt der Ladungen und deren Geschwindigkeiten, aber umgekehrt dem Quadrat ihrer Entfernung. Die beobachtete Proportion kann durch das Einführen eines Proportionalitätsfaktors k (Dimension: Spannung x Zeit / (Strom x Länge)) in eine Gleichung überführt werden. Aus rein praktischen Erwägungen hat man den Proportionalitätsfaktor k als Quotient aus einer Größe μ , die sich als Materialkonstante erweist, und einem Zahlenwert 4π geschrieben (Gl.(5.1/1)).
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5.2.1 Die Induktion B

Analog den Überlegungen, die von dem Coulomb’schen Gesetz zur Felddarstellung führten, wird nach der Nahwirkungstheorie auch die durch die Bewegung der Ladungen verursachte Kraftwirkung über die Feldvorstellung beschrieben. Danach versetzt eine bewegte Ladung den sie umgebenden Raum mit einem Magnetfeld, das sich darin äußert, dass z.B. auf andere bewegte Ladungen Kräfte ausgeübt werden. Nach dieser Auffassung wird die Kraftwirkung auf die Ladung Q1 entsprechend Gl.(5.1/1) aus dem Produkt Q1 · v1 und einer am Ort von Q1 vorhandenen von der bewegten Ladung Q2 erregten magn. Feldgröße B (Q2, v2) berechnet.
Die Kraft in Gl.(5.2.1/4) steht immer senkrecht auf der aus den Vektoren und aufgespannten Fläche. Wird der Vektor auf kürzestem Wege im Uhrzeigersinn zum Vektor gedreht (Korkenzieherregel), dann zeigt die Spitze des gedachten Korkenziehers in Richtung der Kraft .
Die Feldgröße B beschreibt die Kraftwirkung des magnetischen Feldes ähnlich wie die elektrische Feldstärke E im elektrischen Feld. Deshalb müsste B konsequenterweise als magnetische Feldstärke bezeichnet werden. Da in der historisch bedingten Bezeichnung "Induktion" aber eine weitere Wirkung (Spannungsinduktion) des Magnetfeldes zum Ausdruck kommt - der Hinweis auf die physikalische Kausalität also gegeben ist - soll diese inzwischen weit verbreitete Bezeichnung beibehalten werden.
Der physikalische Richtungssinn der Induktion B ist mit dem Richtungssinn des Stroms durch eine Rechtsschraube verknüpft (Bild 5.2.1/2).
Nicht nur auf bewegte Ladungen kann man Kräfte feststellen, sondern auch auf Magnetnadeln oder Eisenfeilspäne. Mit einer drehbaren kleinen Magnetnadel lassen sich die Richtungen eines Magnetfeldes bestimmen. Charakteristisch sind die immer in sich geschlossenen Linien, die zur Darstellung des magnetischen Feldes dienen (Feldlinien). Die Feldbilder vermitteln den Eindruck eines Wirbels um den Strom. Man spricht daher von einem Wirbelfeld im Gegensatz zum Quellenfeld beim elektrostatischen Feld.

Eine frei bewegliche Kompassnadel stellt sich unter der Einwirkung des erdmagnetischen Feldes so ein, dass sein eines Ende zum Nordpol, das andere zum Südpol der Erde zeigt. Das zum Erdnordpol zeigende wird als Nordpol des Magneten, das zum Erdsüdpol zeigende als Südpol des Magneten bezeichnet. Als positive Feldrichtung des Magneten ist die Richtung der Linien durch die Luft hindurch vom Nordpol zum Südpol festgelegt (Bild 5.2.1/7).
Umfasst man den stromdurchflossenen Leiter mit der rechten Hand so, dass der abgespreizte Daumen in die Richtung des Stromes weist, so zeigen die übrigen Finger in die Richtung der Feldlinien.

Beispiel 5.2.1/1:

Zur praktischen Messung der Induktion B wird die sog. Hallsonde benutzt. Die Hallsonde besteht aus einem flachen Halbleiter, der vom Steuerstrom I durchflossen wird. Ohne Einwirkung eines Magnetfeldes verteilt sich dieser Strom homogen über den Querschnitt, sodass sich eine Stromdichte || = I/(a·b) einstellt, der nach Gl.(1.2.1/4) eine Ladungsgeschwindigkeit || = |/h| entspricht. Wird die Sonde in ein Magnetfeld gebracht, so wirken auf die Ladungsträger Kräfte entsprechend Gl.(5.2.1/4), die die Ladungsträger senkrecht zu an den Rand des Halbleiters drängen. Die Potentialdifferenz entsteht dadurch, dass die Elektronen im Feld durch die Lorentzkraft abgelenkt werden und somit eine Kante mit Elektronen angereichert wird, während die gegenüberliegende Kante an Elektronen verarmt.

Berechnen Sie die Hallspannung |UH|.


Beispiel 5.2.1/2:

Weisen Sie nach, dass die zeitliche Änderung der kinetischen Energie eines Elektrons nur durch ein elektrisches Feld erfolgen kann und nicht durch ein stationäres magn. Feld.


Beispiel 5.2.1/3:

Ein Elektron mit der Anfangsgeschwindigkeit vy0 << c durchfliegt im Vakuum ein homogenes Feld der Länge l.
Skizzieren Sie die Flugbahn für
a) ein elektr. Feld Ex 
b) ein magn. Feld Bz.


Beispiel 5.2.1/4:

Ein Elektron mit der Masse m0 tritt senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein und durchläuft dort eine Kreisbahn. Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt v0.
a) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit v1?
b) Berechnen Sie den Radius r des Kreises.
c) Welche Zeit verbringt das Elektron im Magnetfeld?


Beispiel 5.2.1/5:

Das folgende Bild zeigt schematisch den Aufbau eines Zyklotrons:

Zwischen zwei dosenförmigen Elektroden D1, D2 liegt eine Wechselspannung der Frequenz f. In dem schmalen Spalt zwischen den Elektroden befindet sich eine Ionenquelle Q. Die emittierten Teilchen (z.B. Protonen) haben die Masse m und die Ladung q. Die Anordnung ist in ein statisches homogenes Magnetfeld der Induktion B eingebettet; dieses zwingt die Teilchen auf halbkreisförmige Bahnen, zwischen denen sie jeweils den schmalen Spalt zwischen den HF-Elektroden passieren. - Er ist in der Skizze übertrieben breit dargestellt. - Bei optimalem Betrieb (Synchronismus) durchlaufen die Teilchen den Spalt jeweils im Zustand maximaler Spannung, sodass Geschwindigkeit und Bahnradius von einem Halbkreis zum nächsten zunehmen. Vor Erreichen des Dosenrandes werden die Teilchen bei einem Maximalradius Rmax durch ein elektrisches Ablenkfeld A aus der Anordnung ausgeschleust.


Beispiel 5.2.1/6:

Technische Anwendungen:

Teilchenbeschleuniger (Zyklotron, Betatron)
Mikrowellenröhren (Magnetron, Wanderfeldröhre, Carcinotron)
Elektronenoptik (Magnetische Linsen)
Ablenksystem in der Elektronenröhre

Die ablenkende Wirkung eines Magnetfeldes wird in der Wanderfeldröhre und beim Carcinotron zur Bündelung der dort verwendeten langen Elektronenstrahlen verwendet. Ohne Magnetfeld spreizen diese Strahlen durch Raumladungskräfte auf; es wird also eine radiale Geschwindigkeitskomponente erzeugt. Als Gegenmaßnahme wird ein axiales Magnetfeld eingeführt; dieses erzeugt mit der radialen Geschwindigkeitskomponente eine Kreisbewegung, die sich der gewünschten Bewegung in axialer Richtung überlagert.

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5.2.2 Die magnetische Erregung H

Nachdem die Induktion aus der Kraftwirkung definiert ist, kann sie auch ohne Schwierigkeiten ihrer Ursache zugeordnet werden. Entsprechend der Ausgangsbetrachtung Gl.(5.2.1/1) ist die Induktion B eine Folge der mit v2 bewegten Ladung Q2 entsprechend der Beziehung in Gl.(5.2.2/1). Zur Erklärung der Richtungszuordung seien folgende experimentelle Ergebnisse betrachtet (Bild 5.2.2/1):

Eine Ladung Q bewege sich mit der Geschwindigkeit . Im Raum um diese Ladung besteht also ein Magnetfeld, dessen Kraftwirkung mit einem magnetischen Dipol (Magnetnadel) gemessen wird. Dabei lässt sich Folgendes beobachten:

a) In allen Punkten, die außerhalb der Geraden x liegen, stellt sich der Dipol mit seiner Längsachse tangential zu einer konzentrisch und senkrecht zur Geraden x verlaufenden Kreislinie ein, sodass seine Süd - Nordrichtung rechtswendig um die Geschwindigkeitsrichtung weist, d.h., der Induktionsvektor steht senkrecht auf der durch die beiden Vektoren und bestimmten Ebene, und zwar so, dass , und ein Rechtssystem bilden. Die dem - Feld entsprechenden Feldlinien ergeben sich als konzentrische Kreise um eine durch bestimmte Gerade.
b) Auf Linien im Abstand a parallel zu x ist das auf den Dipol wirkende Drehmoment in den Punkten am größten, die in der zu senkrechten Ebene durch Q liegen, d.h., in diesen Punkten ist auch der Betrag des Induktionsvektors maximal.
(x;a=konst.) = maximal bei x = 0 ( )
c) In allen Punkten P(x;a=0), die auf der durch den Geschwindigkeitsvektor bestimmten Geraden x liegen, wird kein richtendes Moment auf den Dipol ausgeübt, d.h., die Kraftwirkung und damit das magnetische Feld ist hier gleich null.
(x;a=0) = 0
Denkt man sich nun die Geschwindigkeit aus ihren beiden Komponenten | | · sin (α) und | | · cos (α) zusammengesetzt (Bild 5.2.2/1), so folgt aus b) und c), dass die Komponente in Richtung keinen Beitrag zur Erregung der Kraftwirkung und damit zur Induktion liefert ( | | = 0 für ), sondern lediglich die senkrecht zu ( || ≠ 0 für ).

Mit der Gl.(5.2.2/3) wird die der Wirkung zugeordnete Feldgröße über die Materialeigenschaften μ des Raumes allgemeingültig ihrer Ursache Q· zugeordnet.
Der der Ursache Q· eines magn. Feldes zugeordnete Feldvektor wird als magnetische Erregung bezeichnet und ist definiert als Quotient des der Wirkung zugeordneten Feldvektors durch eine seinem Raumpunkt entsprechende Materialkonstante μ. in Gl.(5.2.2/4) ist so definiert,
  1. dass diese Feldgröße aus der physikalisch realen Ursache der bewegten Ladung an jeder beliebigen Stelle des Raumes ohne Bezug auf die Materialeigenschaften des Raumes bestimmt werden kann und

  2. dass aus dieser Feldgröße der die Wirkung beschreibende Feldvektor durch Multiplikation mit einer die im betrachteten Feldpunkt vorhandenen Materialeigenschaften des Raumes beschreibenden skalaren Größe μ folgt.

Beispiel 5.2.2/1:

Berechnen Sie die Kräfte 1 und 2 auf die Ladungen Q1 und Q2, wenn diese mit den unterschiedlichen Geschwindigkeiten 1 und 2 bewegt werden.

Man erkennt, dass im allgemeinen Fall (Bild 5.2.2/2) 1 2 auf Q1 und Q2 unterschiedliche Kräfte wirken (1 2), was auch unter Einbeziehung der elektrostatischen Kräfte den Grundsatz der Mechanik "actio = reactio" bzw. den Impulserhaltungssatz () in Frage zu stellen scheint.
Ohne nähere Erklärung sei erwähnt, dass zwei mit ungleichen Geschwindigkeiten bewegte Ladungen eine Feldänderung und damit eine Impulsänderung des Feldes bewirken. Damit bleibt aber dann der Impuls des Systems, in dem sich die bewegten Ladungen und deren Feld befinden, wieder konstant, woraus man die Notwendigkeit der Feldbetrachtung erkennt. Ohne die Feldberechnung können keine zeitlich veränderlichen magnetischen Ausbreitungsvorgänge behandelt werden.

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5.2.3 Berechnung der vektoriellen Feldgrößen in unendlich ausgedehnten, magnetisch homogenen Räumen (μ = konst.)

In der Feldbetrachtung geht man wie folgt vor:
  1. Aus der Ursache (der mit bewegten Ladung Q) wird in dem um von Q entfernten Punkt P der dieser Ursache zugeordnete Feldvektor nach G.(5.2.3/1) berechnet.
  2. Aus dem Feldvektor in einem beliebigen Punkt P folgt durch Multiplikation mit der allein diesem Punkt eigenen Materialkonstanten μ der die Wirkung beschreibende Feldvektor = μ · , aus dem dann
  3. die Wirkung des magnetischen Feldes (z.B. Kraftwirkung) in diesem Punkt eindeutig berechnet werden kann.
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5.2.3.1 Überlagerungssatz

Sind in einem Raum mehrere bewegte Ladungen, so erregt jede derselben ein Magnetfeld, und das resultierende Feld muss aus der Summe der Einzelerregungen ermittelt werden. In linearen Räumen (das sind solche, in denen die Wirkung linear von der Ursache abhängt) ist dieses leicht möglich, da für jede Ladung Qi unabhängig von den anderen die magnetische Erregung in einem betrachteten Punkt nach Gl.(5.2.3/1) berechnet werden kann. Durch geometrische Addition aller Einzelerregungen ergibt sich dann die resultierende (Gl.(5.2.3.1/1)).
Grundsätzlich lässt sich mit Gl.(5.2.3.1/4) das von jedem beliebigen gegebenen Strömungsfeld erregte Magnetfeld berechnen, allerdings im Allgemeinen nur mit einem erheblichen Rechenaufwand. Für die in der Praxis am häufigsten auftretenden linearen Leiter - das sind solche, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber den betrachteten Längenausdehnungen sind - lässt sich dieser Aufwand reduzieren, wenn das Volumenintegral näherungsweise in ein Linienintegral umgewandelt wird.

Beispiel 5.2.3.1/1:

Entlang eines unendlich langen Leiters, der vom Gleichstrom I durchflossen wird, bewegen sich an jeder Stelle die positiv angenommenen Ladungselemente dQ mit der konstanten Geschwindigkeit längs des Leiters in Richtung der definierten Stromrichtung I. Berechnen Sie die magn. Erregung in jedem Punkt P mit der Entfernung R von der Leitermittellinie.

Beispiel 5.2.3.1/2:

In ein homogenes Magnetfeld BH wird ein Leiter gebracht, der vom Strom I durchflossen wird. Berechnen Sie das resultierende Magnetfeld.

Interaktive grafische Darstellung von Beispiel 5.2.3.1/2


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5.2.3.2 Die praktische Berechnung des Magnetfeldes stromdurchflossener Leiter (Biot - Savart’sches Gesetz)

Bei Gl.(5.2.3.2/1) muss beachtet werden, dass das stationäre Strömungsfeld quellenfrei ist, d.h., der Strom fließt immer in einem geschlossenen Kreislauf. Trotz dieser Einschränkung muss gesagt werden, dass die Berechnung des magnetischen Feldes einer stromdurchflossenen, nicht geschlossenen Teillänge praktisch von großem Nutzen ist, da man in vielen realen Stromkreisen bestimmte Teillängen außer acht lassen kann, weil ihr Beitrag zur Erregung des magnetischen Feldes gegenüber dem der übrigen Längen vernachlässigbar klein ist.

Beispiel 5.2.3.2/1:

Berechnen Sie über das Gesetz von Biot-Savart die magn. Erregung, die von einer quadratisch geformten, stromdurchflossenen Leiterschleife in deren Mittelpunkt hervorgerufen wird.

Beispiel 5.2.3.2/2:

Gegeben sei eine vom Strom I durchflossene kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius R0.
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes die magn. Erregung in einem Punkt P auf der z-Achse.
b) Diskutieren Sie das Ergebnis für z << R0 und z >> R0.

Beispiel 5.2.3.2/3:

Mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes ist das Magnetfeld auf der Mittellinie einer zylindrischen Spule mit n Windungen und der Länge L zu bestimmen. Die Windungen können als lineare Leiter betrachtet werden.

Beispiel 5.2.3.2/4:

Die magn. Erregung im Punkt A ist zu berechnen. Die Größen α und R des Dreiecks sind gegeben.

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5.3 Integrale Größen des magnetischen Feldes

Mit den vektoriellen Feldgrößen und lassen sich die magnetischen Felder als Ortsfunktionen darstellen, d.h., mit ihnen können homogene wie inhomogene Felder eindeutig und vollständig beschrieben werden. Sie bilden daher die Grundlage einer allgemeingültigen Theorie zur Berechnung und Darstellung magnetischer Felder. Bei den praktischen Problemstellungen in technischen Anwendungsgebieten interessiert aber vielfach die resultierende Wirkung ganzer Feldgebiete, die eleganter mit den integralen Kenngrößen des Feldes beschrieben werden kann.
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5.3.1 Die magnetische Spannung V

Die vektorielle Feldgröße lässt sich entsprechend ihrer Dimension I/l als die auf die Länge der magnetischen Feldlinie bezogene, sie verursachende elektrische Strömung auffassen. Dieser Vorstellung entsprechend wurde durch die räumliche Integration von eine integrale magnetische Größe definiert, die sogenannte magnetische Spannung. Diese Bezeichnung entspricht der Analogie des Magnetfeldes zum elektrostatischen Feld in der historischen Auffassung.
Die zwischen zwei Punkten auftretende magnetische Spannung V12 in Gl.(5.3.1/1) ist eine skalare Größe. Ihre Wirkungsrichtung kann ähnlich wie die der elektrischen Spannung durch einen Zählpfeil, der in die Integrationsrichtung weist, gekennzeichnet werden. Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld ist diese Spannung allerdings nicht mehr in jedem Falle von dem gewählten Integrationsweg unabhängig, wie folgende Betrachtungen zeigen:
Ein vom Strom I durchflossener langer Leiter erregt ein Magnetfeld, dessen - und -Feldlinien konzentrische Kreise um den Leiter darstellen mit | | = I/(2πR) (Bild 5.3.1/1).
In diesem Feld ergibt sich die magnetische Spannung zwischen den Punkten 1 und 2 wie folgt:
a) Integriert man in Richtung d, also rechtswendig um den Zählpfeil I, entlang der Feldlinie a mit dem Radius R, so erhält man Gl.(5.3.1/2). Jeder andere Integrationsweg, der rechtswendig um I verläuft, z.B. die Wege a1 oder a2, liefert das gleiche Ergebnis, allerdings mit höherem Rechenaufwand.
b) Integriert man in Richtung d, also linkswendig um den Zählpfeil I, entlang der Feldlinie mit dem Radius R, so ergibt sich Gl.(5.3.1/3). Alle Spannungen V12(b), die linkswendig integriert werden (z.B. b1), sind wieder untereinander gleich. Addiert man die Spannungen beider Integrationswege unter Beachtung der Richtungen der Zählpfeile, so muss diese Summe gleich sein der magnetischen Spannung über eine geschlossene Linie um I (Gl.(5.3.1/4)).

Im Gegensatz zur Spannung im elektrostatischen Feld ist die magnetische Spannung zwischen zwei Punkten in Gebieten, in denen bewegte Ladungen auftreten, nicht mehr eindeutig. Es fehlt ihr auch im Gegensatz zur elektrischen Spannung die anschauliche physikalische Bedeutung , sodass sie mehr als eine Rechengröße aufgefasst werden muss.

Beispiel 5.3.1/1:

Auf der z-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Bild 5.3.1/2) liege ein unendlich langer Leiter, durch den der Strom I fließt. Wie groß ist die magn. Spannung VAB zwischen den Punkten A und B?

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5.3.1.1 Der Durchflutungssatz

Aus der Gl.(5.3.1/4) ergibt sich, dass die magnetische Spannung über einen geschlossenen Umlauf, der den Strom I einschließt, immer den Wert I ergibt. Der Durchflutungssatz besagt, dass in einem beliebigen, von Strömen durchflossenen, Feld das Wegintegral der magn. Erregung längs einer geschlossenen Linie gleich ist der Summe aller Ströme, die von der geschlossenen Linie umfasst werden (Gl.(5.3.1.1/1)). Die Ströme, die von dem gewählten Integrationsumlauf drechtswendig umschlossen werden, sind mit positivem, die linkswendig umschlossenen mit negativem Vorzeichen in der Stromsumme zu berücksichtigen. Dieser Durchflutungssatz kann in beliebigen Räumen experimentell, in homogenen Räumen (μ = konst.) auch mit dem Biot - Savart’schen Gesetz, bewiesen werden. Wesentlich ist, dass lediglich die Ströme den Wert des Umlaufintegrals bestimmen, die innerhalb des Integrationsumlaufes fließen. Das darf aber nicht dahingehend gedeutet werden, dass die Ströme außerhalb des Umlaufes das Feld nicht beeinflussen würden. Z.B. bestimmt der Strom I5 in Bild 5.3.1.1/1 den Feldverlauf mit, nicht aber den Wert des Umlaufintegrals.
Fließen die Ströme in räumlich ausgedehnten Leitern (Strömungsgebieten), auf die sie sich mit unterschiedlichen Stromdichten verteilen, so muss die vom Umlaufintegral eingeschlossene Fläche in kleine Flächenelemente dA unterteilt werden, über die die Stromdichte als konstant angenommen werden kann. Wird das Flächenelement durch den Flächenvektor d gekennzeichnet, der rechtswendig dem Integrationsumlauf dzugeordnet ist, so lässt sich der Durchflutungssatz allgemein mit Gl.(5.3.1.1/2) beschreiben.

Die Summe der Ströme bzw. das Flächenintegral der Stromdichte wird auch als elektrische Durchflutung Θ bezeichnet. Die große praktische Bedeutung des Durchflutungssatzes ist darin zu sehen, dass er gleichermaßen für Vakuum wie auch für homogene oder inhomogene Materie gilt.

Beispiel 5.3.1.1/1:

Berechnen Sie die Durchflutungen Θ = Σ I.

Beispiel 5.3.1.1/2:

Gegeben ist die in Bild 5.3.1.1/2 skizzierte lange dünne, stromdurchflossene Zylinderspule. Berechnen Sie die magn. Erregung Hi im Inneren der Spule.

Beispiel 5.3.1.1/3:

Gegeben ist eine konzentrische Leitung (Koaxialleitung) nach Bild 5.3.1.1/3. Messungen mit einem Dipol ergaben, dass die Feldlinien als konzentrische Kreise verlaufen.
a) Berechnen Sie den Betrag der magn. Erregung in Abhängigkeit vom Abstand r von der Mittelachse für den Innenleiter, den Zwischenraum, den Außenleiter und den Außenraum und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar.
b) Welche magn. Erregung ergibt sich an der Oberfläche des Innenleiters bei rd = 1 cm und I = 100 A?

Beispiel 5.3.1.1/4:

Berechnen Sie die magn. Erregung für das in Bild 5.3.1.1/6 skizzierte Hohlrohr und stellen Sie H(r) grafisch in der Zeichenebene dar.

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5.3.2 Der magnetische Fluss F

Zur Kennzeichnung der resultierenden Wirkung des magn. Feldes in einem räumlich ausgedehnten Bereich hat man die Größe magn. Fluss F definiert. In einem kleinen Gebiet, in dem das Feld als homogen angenommen werden kann, erhält man den Fluss dF durch die Fläche dA als Produkt aus | | und der Projektion von dA in eine Ebene senkrecht zu (Bild 5.3.2/1). Ordnet man der Fläche den Flächenvektor d zu, so lässt sich der Fluss auch als Skalarprodukt der Vektoren d und angeben (Gl.(5.3.2/1).

Da man jede beliebig geformte Fläche A, die in einem inhomogenen Feld liegt, in kleine Flächenelemente dA unterteilen kann, über die jeweils das Feld homogen (= konst.) ist, lässt sich der Fluss durch diese Fläche mit Gl.(5.3.2/2) berechnen.

Der magn. Fluss F ist eine skalare Größe, die aber zweckmäßig durch einen Zählpfeil in Richtung des Flächenvektors weisend gekennzeichnet wird. Ist der Flächenvektor nicht durch einen Flächenumlauf bereits festgelegt, sollte er in Richtung der Induktion gewählt werden, da dann der Flusszählpfeil für F die gleiche Richtung wie der Induktionsvektor hat.
Die Induktion kann auch als der magn. Fluss pro Fläche, d. h. als Flussdichte, aufgefasst werden.
Die Fluss(dichte) - Linien sind immer in sich geschlossen. Dies gilt unabhängig davon, ob das magn. Feld sich im Vakuum oder in irgendeinem Material ausbildet oder ob der magn. Kreis sich aus mehreren Materialien zusammensetzt. Aus dieser grundsätzlichen Eigenschaft des Flusses, die der des elektr. Stroms völlig analog ist, ergibt sich die gleiche Aussage der Quellenfreiheit, wie sie beim elektr. Strom (Erster Kirschhoff’scher Satz) formuliert wurde:
Der gesamte in eine Hülle einströmende Fluss muss gleich sein dem aus dieser Hülle herausströmenden Fluss (Gl.(5.3.2/3)).

Beispiel 5.3.2/1:

Berechnen Sie den Fluss F, der die Fläche mit der Länge l zwischen einer unendlich lang gedachten Paralleldrahtleitung durchsetzt.

Beispiel 5.3.2/2:

Ein fünfadriges Kabel wird von einem Strom durchflossen, der je Ader 0,15 A beträgt.

a) Welche Werte nehmen die magn. Erregung H und die Induktion B in einem Punkt in 50 cm Entfernung vom Kabel in einer nur aus Luft bestehenden Umgebung an, wenn die Stromrichtung
a1) in allen 5 Adern gleich-,
a2) in 2 Adern entgegengerichtet ist?
b) Ändern sich diese Werte, wenn das Kabel konzentrisch mit einem Eisenmantel von 2rm = 4 cm mittlerem Durchmesser und d = 2 mm Wandstärke umgeben wird (μr = 200)?
Wie groß ist der magn. Fluss F im Eisenmantel bei h = 1 m Höhe für a1) und a2)?
c) Wie ändert sich H in dem Feldpunkt, wenn seine Entfernung vom Kabel um 2% vergrößert wird?
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5.3.3 Definition der Induktivität L und der Gegeninduktivität M

Von einer beliebig geformten, vom Strom I durchflossenen, geschlossenen Leiterschleife (1), die die Fläche A1 einschließt, wird ein magn. Feld erregt (Bild 5.3.3/1), das nach Gl.(5.2.3.2/1) berechnet werden kann. Die Integration der Induktion B über die Fläche A1 liefert den magn. Fluss FA1(I), der von der Leiterschleife (1) umfasst wird. Der Ausdruck (5.3.3/2) zeigt deutlich, dass das Verhältnis des Flusses FA1(I) durch die Fläche A1 zu dem Strom I, der die Fläche A1 einschließt, eine allein von der Geometrie der Leiterschleife und den Materialeigenschaften μ des Raumes abhängige Größe darstellt. Dieser Quotient, der den Zusammenhang zwischen Strom und dem durch diesen erregten magn. Feld beschreibt, wird als Induktivität L bezeichnet und ist durch Gl.(5.3.3/3) allgemeingültig definiert. Da in der von I eingeschlossenen Fläche und auch d definitionsgemäß rechtswendig dem Zählpfeil I zugeordnet, also gleichgerichtet sind, kann die Induktivität nur positiv sein.
In gleicher Weise, wie der magn. Fluss in der Leiterschleife des erregenden Stromes berechnet werden kann, ergibt er sich auch für eine beliebige zweite Leiterschleife innerhalb des Raumes, wie z.B. in Bild 5.3.3/1 für die Fläche A2, zu FA2(I) in Gl.(5.3.3/4). Auch bei Gl.(5.3.3/4) sieht man, dass der Quotient des Flusses FA2(I) durch die Schleife (2) um A2 zu dem ihn erregenden Strom in Schleife (1) allein von der Geometrie beider Schleifen und den Materialeigenschaften des Raumes abhängig ist. Man hat auch ihn allgemeingültig definiert und als Gegeninduktivität M bezeichnet.
Die Gegeninduktivität kann positiv oder negativ werden, je nachdem, ob man den innerhalb der hier stromlos angenommenen Leiterschleife (2) frei wählbaren Vektor der Fläche d2 in Richtung (I1) annimmt oder entgegengesetzt. Selbstverständlich gibt es analog der Gegeninduktivität der Leiterschleife (2) zur Leiterschleife (1) (M21) auch eine solche der Leiterschleife (1) zur Leiterschleife (2) (M12).
In homogenen Räumen sind beide Gegeninduktivitäten gleich groß. Bestehen die beiden Schleifen im Bild 5.3.3/1 nicht nur aus jeweils einer einzigen Schleife, sondern besitzen n1 bzw. n2 Windungen, dann gelten Gl.(5.3.3/8) und Gl.(5.3.3/9).

Beispiel 5.3.3/1:

Berechnen Sie die Gegeninduktivität zwischen den dargestellten Toroidspulen mit den Windungszahlen n1 und n2. Die beiden Spulen liegen auf einem gemeinsamen Eisenkern mit der relativen Permeabilität μr.

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5.4 Die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Mit der Gl.(5.2.1/4) wird gerechnet, wenn statt der Ströme die Ladungen und ihre Geschwindigkeiten gegeben sind, also bei der Bestimmung der Laufbahnen frei im Raum beweglicher Ladungen, z.B. bei der Ablenkung des Elektronenstrahls in einer Katodenstrahlröhre mit magn. Ablenksystem. In der Mehrzahl der Fälle wird dagegen die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter gesucht, was eine Weiterentwicklung der Gl.(5.2.1/4) erfordert. In Bild 5.4/1 ist ein vom Strom I durchflossener Leiter beliebiger Lage skizziert, der von einem Magnetfeld durchsetzt wird. Bei Gl.(5.4/1) empfiehlt es sich, entsprechend der Grunddefinition (Abschnitt 5.2.1) unterdie Induktion zu verstehen, die bei stromlosem Leiter auftreten würde (gilt nur für lineare Räume). In nichtlinearen Räumen muss dagegen mit dem resultierenden Feld gerechnet werden.

Beispiel 5.4/1:

Auf die geschlossene Leiterschleife wirkt an jeder Stelle eine Teilkraft d mit radialer Richtung nach außen, d.h. im Sinne einer Aufweitung der Kreisschleife. Das bedeutet aber eine Erweiterung des Querschnittes des magn. Kreises, eine Vergrößerung des Flusses und gemäß Gl.(5.3.3/3) eine Induktivitätserhöhung.

Ihre praktische Anwendung findet diese Erscheinung bei dem Hörnerblitzableiter (Bild 5.4/3). Bei einem Überschlag infolge Hochspannung wird der Stromkreis durch einen Lichtbogen zwischen den metallischen Stäben geschlossen. Die Ansätze des Lichtbogens an den Stäben sind den Magnetfeldern der Ströme in den beiden unteren Hornteilen ausgesetzt. Die sich ausbildenden Kräfte weisen nach oben und ziehen den Lichtbogen in Richtung der auseinander strebenden Hornenden. Dadurch wird die durch den Lichtbogen geschlossene Stromschleife ausgeweitet, bis schließlich die Spannung nicht mehr für die vergrößerte Lichtbogenlänge ausreicht, was zu einem Abreißen des Bogens führt. Unterstützt wird das Hochwandern des Lichtbogens durch die sich ausbildende Wärmeströmung.

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5.5 Eigenschaften des magnetischen Feldes

Ursache des magn. Feldes ist die bewegte Ladung. Sie ist allerdings weder Quelle noch Senke des magn. Feldes (der Feldlinien). In homogenen Räumen (μ = konst.) umschließen die - und -Linien die sie verursachende Durchflutung Θ endlos, d.h., und sind quellenfrei. Das magn. Feld ist ein Wirbelfeld. Seine Wirbel sind die elektrischen Durchflutungen (Ströme), die Wirbelstärke, das ist die auf die Fläche bezogene magn. Umlaufspannung entsprechend Gl.(5.3.1/4), ist der Stromdichte gleich.
In begrenzten Räumen außerhalb elektr. Ströme würde das Ringintegral null ergeben, da es keine Ströme umschließt.
Solche begrenzten Gebiete könnten also auch als wirbelfrei bezeichnet werden (Bild 5.5/1). Um ein Raumgebiet eindeutig als wirbelfrei zu kennzeichnen, muss allerdings die Umlaufspannung um jeden Raumpunkt null ergeben.

Sind in einem Raum verschiedene Materialien mit unterschiedlichem μ vorhanden, man spricht dann von inhomogenen Räumen, so sind die magn. Erregungen auf beiden Seiten einer Trennfläche zwischen zwei verschiedenen Permeabilitäten μ1 ≠ μ2 (Bild 5.5/2) ungleich, da konstant bleibt. Das -Feld in Bild 5.5./2 ist ein Quellenfeld; auf der Grenzlinie zwischen Bereichen ungleicher Permeabilität beginnen oder enden die -Linien.

Das -Feld ist in jedem Raum quellenfrei, das -Feld ist dagegen in Räumen, in denen sich μ ändert, ein Quellenfeld. Die Quellen der -Linien sind die Stellen, an denen sich μ ändert.
Erwähnt sei, dass diese Aussagen für die Modellvorstellung gelten, dass das -Feld ausschließlich von den makroskopischen äußeren Strömen erregt wird und die resultierenden Zusatzerregungen der mikrokosmischen Ströme im atomaren Bereich der Materie in der Permeabilität μ der Stoffe berücksichtigt werden.

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©2000-2001  Jan Knickmeier & Timo Eich
©2002  Überarbeitet von Markus Mattern