6. Das magnetische Feld in Materie
In materiellen Körpern bildet sich das Magnetfeld anders aus als im Vakuum.
Da heute als alleinige Ursache des Magnetfeldes die bewegte Ladung angesehen
wird, müssen also in der Materie Ladungsbewegungen stattfinden, die ein,
sozusagen der Materie eigenes, zusätzliches Magnetfeld erregen. Nach der
einfachen Modellvorstellung bilden sich im Inneren der Materie mikrokosmische
Kreisströme aus, die jeweils ein zu ihrer Kreisbahn senkrecht stehendes
Elementarfeld d erregen
(Bild 6/1).
Da aber selbst diese grobe Modellvorstellung als Grundlage einer
quantitativen Berechnung zu kompliziert ist, begnügt man sich damit, die
Elementarerregungen über die Stoffkonstante μ
in die Rechnung einzuführen, und zwar so, dass die bisher verwendete
Definitionsgleichung
= μ ·
 in beliebiger Materie gilt. Es wird
also allein aus den äußeren
makroskopischen Strömen (z.B. I in Bild 6/2) berechnet.
Dieses würde im Vakuum die
Induktion 0 verursachen, in der
Materie dagegen . Es tritt also
ein der Materie eigenes Feld μ
auf, welches sozusagen von einem resultierenden Strom
(z.B. Iμ in Bild 6/2) aller elementaren
Ladungsbewegungen erregt wird. Statt nun aber die in der Materie auftretende resultierende
Induktion mit
μ0 aus der resultierenden Erregung
zu berechnen, was durchaus auch möglich wäre, wird sie aus rein praktischen
Erwägungen über μ ≠
μ 0 aus der äußeren Erregung
berechnet. Die resultierende
Stoffkonstante μ wird als absolute Permeabilität des
Feldraumes aufgefasst. Sie wird als Produkt der Induktionskonstanten
μ0 und der relativen Permeabilität
μr der den Feldraum ausfüllenden Materie
angegeben. In der Praxis wird die relative Permeabilität
μr, die also ein Maß für den
statistischen Mittelwert der Summe aller von den Elementarströmen verursachten
Zusatzerregungen ist, experimentell ermittelt. Aus dieser experimentell ermittelten
Permeabilität lässt sich relativ einfach die, vorwiegend bei grundlegenden
physikalischen Betrachtungen interessierende, resultierende innere Zusatzerregung bestimmen
(Gl.(6/3)).
Hinsichtlich ihres magn. Verhaltens kann die Materie aus der für die Praxis
interessierenden makroskopischen Sicht in die Gruppen des Bildes 6.1/1
unterteilt werden. Dieser Einteilung liegt die Modellvorstellung zugrunde, dass
in jeder Materie elementare Kreisströme auftreten, allerdings sind die von
ihnen erregten Elementarfelder im unmagnetisierten Zustand so unregelmäßig
orientiert, dass kein resultierendes Feld nach außen in Erscheinung tritt
(Bild 6/1).
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6.1 Magnetisches Verhalten der Materie
6.1.1
Bleibt in einer Materie die regellose Orientierung der Elementarfelder auch
erhalten, wenn in ihr ein magn. Feld auftritt, so spricht man von einem magn.
neutralen Stoff, für den μ r = 1 ist
(z.B. Luft).
6.1.2
In Materie, deren Elementarströme sich unter Einwirkung eines äußeren
Feldes in einer Richtung orientieren (Bild 6/2), bilden sich von null
verschiedene resultierende innere Erregungen aus, die ein zusätzliches,
sozusagen inneres Feld erregen, welches sich dem äußeren überlagert.
6.1.2.1
In den diamagnetischen Stoffen wirken die inneren Erregungen dem äußeren
Feld entgegen und schwächen dieses (μr
< 1). Die bekannten diamagnetischen Stoffe bilden aber nur ein äußerst
geringes Gegenfeld aus (Wismut: μr = 1 - 160
· 10-6, Zink: μr = 1 - 10 · 10-6,
Kupfer: μr = 1 - 12 ·
10-6, Wasser: μr = 1 - 9
· 10-6). In diamagnetischen Stoffen ist μr
unabhängig von bzw.
und der Temperatur.
6.1.2.2
Die Materie, in der die inneren Erregungen verstärkend auf das äußere Feld
einwirken, unterteilt man in zwei weitere Gruppen.
6.1.2.2.1
Paramagnetische Stoffe zeigen ähnlich wie die diagmagnetischen nur eine
äußerst schwache, allerdings verstärkende Wirkung auf das äußere Feld
(Aluminium: μr = 1 + 22 · 10-6, Paladium:
μr
= 1 + 780 · 10-6, Platin: μr =
1 + 330 · 10-6,
Sauerstoff: μr = 1 + 1,5 · 10-6).
μr ist unabhängig von
bzw. ,
jedoch temperaturabhängig.
6.1.2.2.2
In ferromagnetischen Stoffen treten sehr große verstärkende
innere Erregungen auf (μr bis 105).
Die verstärkende Wirkung ist hier aber abhängig von der
Induktion innerhalb des Stoffes (Eisen, Nickel, Kobalt, Heusler'sche
Mangan-Kupfer Legierungen), außerdem fallen die einmal durch
ein äußeres Feld in eine bestimmte Richtung orientierten
Elementarströme nach Verschwinden des äußeren Feldes
nicht vollständig wieder in ihre regellose Ausgangslage zurück,
d.h., es bleibt ein sozusagen der Materie eigenes Feld bei diesen
Stoffen zurück. Je nachdem, in welcher Stärke das Eigenfeld
bestehen bleibt, unterscheidet man weich- und hartmagnetische Stoffe
(Naturmagnete). Da sich die praktischen Problemstellungen nahezu ausschließlich
auf Felder in magn. neutraler oder ferromagnetischer Materie beziehen,
kann man sich darauf beschränken, nur das Verhalten ferromagnetischer
Stoffe zu betrachten.
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6.2 Ferromagnetische Materie
Nach dem Bohr’schen Atommodell bewegen sich die Elektronen auf bestimmten
Bahnen um den Atomkern. Ein solches Elektron bildet einen Ringstrom und erzeugt
so einen elementaren Dauermagneten. Somit können auch die Atome bzw. Moleküle
elementare Dauermagnete bilden. Infolge der Wärmebewegung befinden sich diese
Dauermagnete in statistischer Unordnung, sodass ihre Wirkungen nach außen
nicht in Erscheinung treten. Außerdem stellt man sich vor, dass die Elektronen
eine Rotation um ihre eigene Achse machen, man sagt dazu auch, das Elektron hat
einen Drall oder Spin. Jedes so kreisende Elektron stellt einen Kreisstrom dar,
der ähnlich wie eine Stromwindung, also wie ein kleiner Dauermagnet, wirkt.
Diese Spinmagnete können sich unter bestimmten Bedingungen plötzlich parallel
ausrichten und ein äußeres Magnetfeld verstärken. Dieses Richtvermögen
hängt vom Aufbau der Elektronenschale, sowie von den Abständen der
einzelnen Atome im Verband des Kristallgitters ab. Der Ferromagnetismus ist
eine Kristalleigenschaft, denn z.B. Fe-Dampf und Fe-Salze sind nicht
ferromagnetisch.
Nach der Vorstellung von Pierre Weiß müssen wir weiterhin annehmen, das es
in einem ferromagnetischen Werkstoff mikroskopisch kleine Bereiche geben muss,
die bereits bis zur Sättigung magnetisiert sind und deren
Magnetisierungsrichtungen nur in bestimmten Richtungen innerhalb der
Kristalllinienbereiche liegen können. Solche Bereiche heißen Weiß’sche
Bezirke (Bild 6.2/1). Es handelt sich dabei offensichtlich um Bereiche, in denen
die Spinmagnete der Einzelatome parallel gerichtet sind. Ein Weiß’scher
Bezirk umfasst mindestens 64 Elementarzellen des Kristalls und kann bis zu 106
Molekül- oder Atomgruppen umfassen. Die Grenzen zwischen den Weiß’schen
Bezirken nennt man Blochwände, nach ihrem Entdecker Bloch. Bei äußeren
Feldstärken vergrößern sich bevorzugte Bezirke auf Kosten der Nachbarbezirke
(Blochwandverschiebungen) und drehen sich schließlich mit ihrem
Magnetisierungsvektor in Richtung der äußeren Feldstärke ein (Drehprozesse).
Bei entsprechend hoher Feldstärke gibt es keine zusätzliche Erhöhung durch
Materialeinwirkung mehr (Sättigung).
Die sprunghaften Änderungen der Bezirke hat Heinrich Barkhausen erstmalig
mit Hilfe der Induktionswirkung in einer das Material umgebenden Spule hörbar
gemacht ("Barkhausensprünge"). Die Verstärkung des resultierenden
Feldes erfolgt also nicht kontinuierlich wie bei der para- und diamagnetischen
Materie, sondern stufenweise.
Im magn. neutralen Zustand liegen die Orientierungsrichtungen der Gebiete so
unregelmäßig, dass in einem makroskopischen Volumen keine resultierende
Erregung auftritt. Infolge eines äußeren Feldes stellen sich dann die
Orientierungen der Elementarerregungen jeweils geschlossen über Teilgebiete
oder, bei starker äußerer Erregung, über ganze Gebiete in die Richtung der
äußeren Erregung ein (Bild 6.2/2).
Bei einer bestimmten Temperatur (Curie-Temperatur) verliert das
Ferromagnetikum seine besonderen magn. Eigenschaften, da die thermische Energie
die Magnetisierung in den Weiß’schen Bezirken zunichte macht (bei Eisen etwa
770°C).
Da die Induktion bei ferromagnetischer Materie nichtlinear von
abhängt (μ=f()),
ist es zweckmäßig, diesen nichtlinearen Zusammenhang durch sogenannte
Magnetisierungs- oder Hysteresekurven direkt darzustellen, welche die für alle
ferromagnetischen Stoffe typische Abhängigkeit der Induktion
von der äußeren magn. Erregung
anschaulich aufzeigen (Bild 6.2/3). Wird ferromagnetische Materie einem
äußeren -Feld ausgesetzt,
dessen äußere Erregung von 0
bis max gesteigert wird, so
richten sich unter der Wirkung von zunehmend
Elementarerregungen bereichsweise in Richtung von
aus, sodass infolge der stärker als
anwachsenden resultierenden Gesamterregung die Induktion zunächst progressiv, dann linear wesentlich stärker als im Vakuum
mit der äußeren Erregung
ansteigt.
Da die Menge der Elementarerregungen aber endlich ist, werden
von einem bestimmten Punkt an mit weiter zunehmendem immer weniger Bereiche ungeordneter Elementarerregungen
zur Verfügung stehen, die ausgerichtet werden können, d.h.,
wird immer flacher mit
ansteigen, bis schließlich alle
Bereiche ausgerichtet sind. Dann kann trotz weiterer Steigerung des Feldes keine
Zusatzerregung mehr hinzukommen, und
wird nur noch im gleichen Maße mit
anwachsen wie im Vakuum, die Steigung ist hier dB/dH = μ0
(Bild 6.2/4).
Wird die äußere Erregung
wieder verringert, so wird auch
und damit die Richtwirkung auf die Elementarerregungen kleiner. Das bedeutet,
dass die dann wieder überwiegenden inneren Rückstellkräfte die
Elementarerregungen bereichsweise in die ungeordnete Lage zurückbringen.
Infolge innerer molekularer Kräfte ist aber jede Lageänderung der
Elementarerregungen mit einer Art "Reibungsverlust" verbunden, sodass
jede Umorientierung durch die Kraftwirkung des äußeren Feldes bzw. der inneren
Rückstellkraft, vermindert um die "Reibungskraft", verursacht wird,
d.h., beim Auf- und Abbau des Feldes wird der Zusammenhang zwischen
und
durch eine Hysteresekurve beschrieben. Diesem Mechanismus entsprechen
auf der Hystereskurve (Bild 6.2/3) folgende charakteristische
Bereiche:
| a) |
Wird ein völlig unmagnetischer Stoff von H=0 bis
+Hmax aufmagnetisiert, so steigt B auf der Neukurve von 0
bis +Bmax an. Die Entmagnetisierung eines magn. Werkstoffes
erfolgt durch einen langsam abnehmenden Wechselstrom (Bild 6.2/5).
|
| b) |
Wird die äußere Erregung H von Hmaxauf H=0
verringert, geht B von +Bmax nur bis auf einen positiven Restwert
Br zurück. Diese Remanenzinduktion (Restmagnetisierung) wird von der
resultierenden inneren Erregung der nicht wieder in die ursprünglich regellose
Lage umorientierten Bereiche verursacht. Damit erklärt sich die Funktionsweise
von Dauermagneten (permanenten Stahlmagneten); sie sind nichts weiter als Eisen im
Remanenzzustand. Dabei kann der remanente Magnetismus durch die elektr.
Durchflutung einer Spule oder durch das vorhandene Feld eines Dauermagneten
hervorgerufen werden. Als Stahlsorten eignen sich besonders solche, die neben
ausreichender Remanenz eine hohe Koerzitiverregung (siehe c)) besitzen,
sodass sie nicht so leicht entmagnetisiert werden können.
|
| c) |
Wird eine äußere Gegenerregung -H aufgebracht, fällt B weiter.
Diejenige Gegenerregung, die die inneren Elementarerregungen vollständig
kompensiert, sodass B wieder null ist, wird Koerzitiverregung Hk (Hc)
genannt. Erwähnt sei, dass durch diese äußere Gegenerregung Hk die
regellose Orientierung des Ursprungszustandes nicht vollständig wieder
erreicht wird, d.h., nach dem Abschalten der Gegenerregung Hk wird
B wieder größer null.
|
| d) |
Wird die äußere Gegenerregung bis -Hmax gesteigert,
wächst auch B in negativer Richtung an bis -Bmax.
|
| e) |
Von -Bmax steigt dann B=f(H) wieder ähnlich wie in b)
bis d) beschrieben auf +Bmax an.
|
Bei magn. hartem Eisen, besonders gehärtetem Stahl, erhält man breite
Hystereseschleifen mit hoher, bei magn. weichem Eisen (Dynamoblech) schmale
Schleifen mit geringer Koerzitiverregung (Bild 6.2/6).
Für Berechnungen würde es sehr erschwerend sein, wenn man Eisensorten mit
breiter Hystereseschleife berücksichtigen müsste. Es würden dann nämlich
je nach der erfolgten Vormagnetisierung ganz verschiedene Erregungen und Ströme
erforderlich sein, um immer wieder dieselbe Induktion zu erhalten. Die in
elektr. Maschinen und Elektromagneten verwendeten Eisensorten gehören jedoch
zu denen mit schmaler Schleife, sodass eine mittlere Kurve benutzt werden kann.
Man lässt also die Vorgeschichte unberücksichtigt, wobei der dadurch
verursachte Fehler vernachlässigbar ist. Für die meisten praktischen
Rechnungen kann bei jeder Eisensorte mit einer B-H-Kurve, nämlich der
Magnetisierungskennlinie oder Kommutierungskurve, gearbeitet werden (Bild 6.2/7).
Die Kommutierungskurve ist der geometrische Ort der Umkehrpunkte (Hmax-,
Bmax-Punkte) aller Hysteresekurven für H=0 bis H= Hmax und entsteht dadurch,
dass der in Stufen gesteigerte Erregerstrom jeweils gewendet (kommutiert) wird.
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6.3 Die magnetischen Feldgrößen an
Grenzflächen
Magnetfelder, die sich vollständig in Räumen ausbilden, die homogen mit
magn. nicht neutraler Materie (μr ≠ 1) ausgefüllt
sind, findet man in der Praxis recht selten. Dagegen treten sehr häufig solche
mit inhomogener Materieverteilung
auf, und zwar meistens derart, dass das magn. Feld gewollt oder ungewollt teilweise durch
ferromagn. Stoffe (Eisen) und teilweise durch magn. neutrale Stoffe (Luft, Isolierstoffe)
verläuft. Es ist daher von Bedeutung, das Verhalten des Feldes an
Grenzflächen verschiedener Permeabilität genauer zu untersuchen, zumal das
magn. Feld in den meisten Fällen über den Durchflutungssatz berechnet wird,
was allerdings nur möglich ist, wenn der qualitative Feldverlauf bekannt ist.
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|
6.4 |
Die praktische Berechnung des magn. Feldes
in inhomogenen Räumen mit ferromagnetischer Materie |
In inhomogenen Räumen lässt sich das magn. Feld nicht mehr mit Hilfe des
Biot-Savart’schen Gesetzes allein nur aus den äußeren Durchflutungen
bestimmen. Mit dem Durchflutungssatz kann nur die Durchflutung bei bekanntem
Feldverlauf bestimmt werden und nicht umgekehrt bei gegebener Durchflutung der
Feldverlauf. Diese Einschränkung erweist sich aber für die Mehrzahl der
praktischen Aufgabenstellungen als relativ bedeutungslos, da hier magn. Kreise
behandelt werden, die sich durch folgende Merkmale auszeichnen:
| a) |
Der magn. Kreis besteht in der überwiegenden Länge aus
Eisen und über eine relativ geringe Länge aus magn. neutralem Material
(meist Luft). |
| b) |
Infolge der hohen Permeabilität des Eisens gegenüber der
von magn. neutralen Stoffen kann für die Berechnung der Durchflutung mit
genügender Genauigkeit angenommen werden, dass in den Eisenwegen der gleiche
magn. Fluss auftritt wie in den mit den Eisenwegen sozusagen in Reihe geschalteten
magn. neutralen Bereichen, d.h., es wird angenommen, dass in Luftstrecken parallel
zu Eisenwegen kein Fluss auftritt. Selbstverständlich kann diese Annahme
nicht ohne weiteres auf andere Problemstellungen übertragen werden, da der
mag. Fluss in den Lufträumen parallel zu Eisenwegen bei höherer
Eisensättigung tatsächlich nicht null ist und z.B. für die Beurteilung
der Streuwirkung nicht vernachlässigt werden darf. |
| c) |
Die Bereiche des magn. neutralen Stoffes werden durch definierte
Grenzflächen (Polflächen) begrenzt, die relativ zu ihrer Flächenausdehnung
einen geringen Abstand haben. Deshalb kann angenommen werden, dass sich
zwischen den Polflächen ein homogenes Feld der Induktion
ausbildet, deren Betrag gleich ist
dem Quotienten Fluss durch Polfläche. |
Mit diesen Annahmen empfiehlt sich folgender Rechnungsgang:
| 1. |
Der gegebene magn. Kreis wird in Bereiche gleicher Querschnitte und
Materialien unterteilt, wie z.B. in Bild 6.4/1 dargestellt, für die die Länge
li und der Querschnitt Ai festgelegt werden. Sind für
die Bereiche magn. neutralen Materials die Längen nicht mehr klein
gegenüber den Querschnittsabmessungen, so muss deren Querschnitt größer
angenommen werden als die Polfläche des angrenzenden Eisens, da sich das
Feld nach außen ausdehnt (Bild 6.4/2). Vergrößerungsfaktoren können der
einschlägigen Literatur entnommen werden. |
| 2. |
Es wird ein bestimmter Fluss Φ
angenommen, der infolge seiner Quellenfreiheit vollständig alle Querschnitte
durchsetzt. Indem man Φ durch den jeweiligen
Querschnitt Ai dividiert, ergibt sich für jeden Abschnitt die
Induktion Bi = Φ/Ai. |
| 3. |
Für magnetisch neutrale Bereiche ergibt sich die magn. Erregung nach
der Beziehung Hi = Bi/μ0
und für die ferromagnetischen, indem zu Bi
aus der für dieses Material gültigen Magnetisierungskennlinie Hi
(z.B. Bild 6.2/7) abgelesen wird. |
| 4. |
Für jeden Bereich wird die magn. Spannung als Produkt aus Länge
li und Hi ermittelt (Vi = li ·
Hi). |
| 5. |
Die Summe aller magn. Spannungen in dem geschlossenen Kreis ist gleich
der Durchflutung dieses Kreises Θ = Σ Vi
(siehe Gl.(5.3.1/4), (5.3.1.1/1) und (5.3.1.1/3)). |
| 6. |
Wird die Durchflutung von einer stromdurchflossenen Spule der
Windungszahl n bewirkt, ergibt sich der Strom I in der Spule zu I = Θ/n. |
| 7. |
Soll für eine gegebene Durchflutung Θ
der durch sie erregte Fluss bestimmt werden, gibt es 2 Lösungsmöglichkeiten. |
| 7.1 |
Es werden nacheinander verschiedene Φ-Werte
angenommen und für diese jeweils die zugehörigen Durchflutungen bzw.
Ströme berechnet. Dann wird Φ über
Θ bzw. I aufgetragen, d.h. die Magnetisierungskennlinie
des Kreises dargestellt, und für den gegebenen Θ-Wert
der zugehörige Fluss Φ abgelesen. |
| 7.2 |
Es wird nach dem Iterationsprinzip vorgegangen, d.h., mit einem
korrigierten Φ-Wert erneut die
Durchflutung berechnet, bis sie mit der gegebenen übereinstimmt. |
Beispiel 6.4/1:
Berechnen Sie die Größe und die Richtung des Flusses Φ.
Θ2 > ( Θ1 +
Θ3 )
Beispiel 6.4/2:
Die Kennlinie Φ = f(Ve) des skizzierten Eisenkreises in
Bild 6.4/6 sei bekannt und durch das Diagramm in Bild 6.4/7 gegeben.
| a) |
Zeichnen Sie die Kennlinie des Kreises nach Einfügen eines Luftspaltes
von 0,5 mm. |
| b) |
Stellen Sie die remanente Induktion Br als Funktion der
Luftspaltlänge dar. |
| c) |
Ermitteln Sie für den Eisenkern bei Aufmagnetisierung längs der
Neukurve μr = f(H), und stellen Sie
diesen Verlauf grafisch dar. |
Beispiel 6.4/3:
Gegeben ist der in Bild 6.4/12 skizzierte Eisenkreis mit Luftspalt (l = 2 mm).
Er enthält einen Dauermagneten der Länge L = 3 cm, dessen magn.
Eigenschaften (Br = 0,55 Vsec/m2, Hc
= -6,5·104 A/m) durch eine lineare Entmagnetisierungskennlinie
angenähert werden (Bild 6.4/13).
| a) |
Berechnen Sie die Induktion B im Luftspalt als Funktion der
Luftspaltlänge l, der Länge L des Dauermagneten und
der Kenngrößen Br und Hc. |
| b) |
Der Magnetkreis in Bild 6.4/12 soll unter Beibehaltung der
Luftspaltlänge l konstruktiv abgeändert werden: |
| b1) |
Die Länge L des Dauermagneten wird verändert; der Querschnitt
A bleibt überall konstant. |
| b2) |
Der Querschnitt A wird verändert; L bleibt konstant. |
| b3) |
L wird verändert; jedoch soll das Volumen Ve des
Dauermagneten und das Volumen Vl des Luftspaltes konstant bleiben. |
Berechnen Sie und stellen Sie grafisch die Abhängigkeit der Induktion im Luftspalt
von der variablen Größe für die drei Fälle dar.
Beispiel 6.4/4:
Durch die Spule (n = 500) des darstellten magn. Kreises fließt ein Strom I = 1 A.
(a= 20 cm, b = 15 cm, c = 0,5 mm, A = 10 cm2)
| a) |
Berechnen Sie die magn. Erregung im Luftspalt und in den drei Eisenschenkeln
(Benutzen Sie die skizzierte Magnetisierungskurve in Bild 6.4/20). |
| b) |
Wie groß ist die Induktivität der Spule? |
| Bild 6.4/20
|
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