7 Die Induktionswirkung des magnetischen Feldes
  
7.1 Das zeitlich veränderliche magnetische Feld
7.1.1 Das Induktionsgesetz
7.1.2 Die Eigenheiten des zeitlich veränderlichen Feldes
7.2 Berechnung der induzierten Spannung mit Hilfe der Induktivität
7.2.1 Die Selbstinduktion
7.2.1.1 Die Induktivität L als Zweipol
7.2.1.2 Zusammenschaltung mehrerer Induktivitäten
7.2.2 Die Gegeninduktion
7.2.3 Induktivitätsdefinitionen bei magn. gekoppelten Spulen und Stromkreisen
7.2.4 Die Vierpolgleichungen magn. gekoppelter Spulen



7. Die Induktionswirkung des magnetischen Feldes

Für den geschlossenen Umlauf einer Masche muss die Summe der elektr. Spannungen null sein. Fließt in einer geschlossenen Schleife ein Strom, so muss außer den passiven Spannungsabfällen I · R, die Folge des Stromes sind, mindestens eine aktive, d.h. den Strom primär verursachende, Spannung in der Schleife wirksam sein. Eine solche aktive Spannung kann von einem zeitlich veränderlichen magn. Feld in der Masche verursacht werden. Man spricht dann davon, dass das magn. Feld in der Masche eine Spannung induziert. Es lassen sich also zwei Wirkungen im magn. Feld beobachten:
  1. die Kraftwirkung,
  2. die Induktionswirkung.
Da zumindest nach einer Modellvorstellung die Induktionswirkung als Folge der Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger erklärt werden kann, sollen von dieser ausgehend die Grundgesetze der Induktionswirkung abgeleitet werden.
Ein gerader Leiter werde entsprechend der in Bild 7/1 dargestellten Anordnung in einem homogenen Magnetfeld geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit bewegt. Zwei Punkte (1) und (2) auf dem Leiter mit dem Abstand l seien gleitend mit zwei ruhenden Schienen galvanisch verbunden, über die die Spannung des Leiters ebenfalls vom ruhenden Standpunkt gemessen werden kann. Auf die mit dem Leiter im Magnetfeld bewegten freien Ladungsträger wird eine in Längsrichtung des Leiters wirkende Kraft mag ausgeübt, derzufolge sich positive Ladungen zum Punkt (2) bzw. negative zum Punkt (1) des Leiters verschieben. Die Folge dieses Ladungsunterschiedes ist ein elektr. Feld im Leiter, dessen Feldstärke von der positiven zur negativen Ladung gerichtet ist und die ebenfalls eine Kraft el auf die Ladungsträger ausübt, allerdings in entgegengesetzter Richtung zu der magn. verursachten. Man kann die vom magn. Feld auf die bewegte Ladung ausgeübte Kraftwirkung formal über eine Art magn. verursachte, d.h. induzierte, elektr. Feldstärke i beschreiben, die sich entsprechend der Definitionsgleichung = /Q mit Gl.(7/1) berechnen lässt. Die induzierte elektr. Feldstärke i in Gl.(7/1) ist so gerichtet, dass , und i ein Rechtssystem bilden; sie weist in Richtung des von ihr verursachten positiven Ladungsüberschusses, also von minus nach plus.
Ein stationärer Gleichgewichtszustand ist erreicht, wenn der Ladungsunterschied gerade so groß ist, dass die beiden entgegengesetzt gerichteten Kraftwirkungen bzw. Feldstärken betragsmäßig gleich sind.
Werden diese beiden elektr. Feldstärken jeweils in ihrer Wirkungsrichtung über die Leiterlänge l integriert, so erhält man auch zwei in ihrer Zählpfeilrichtung unterschiedliche Spannungen.

a) Die Spannung Ui in Gl.(7/3) als Folge der magn. Kraftwirkungen ergibt sich positiv für die Integration in Richtung i, also für den von minus nach plus weisenden Zählpfeil Ui.
b) Die Spannung U0 in Gl.(7/4) als Folge des verursachten Ladungsunterschiedes ergibt sich positiv für die Integration in Richtung , also für den von plus nach minus weisenden Zählpfeil.
Beschreibt man die Anordnung entsprechend Bild 7/1 über die Modellvorstellung einer Ersatzspannungsquelle (Bild 7/3) mit Ui nach Gl.(7/3) bzw. U0 nach Gl.(7/4), so fließt ein Strom I in dem durch den Widerstand R galvanisch geschlossenen Kreis.
Die über das Magnetfeld aufgebrachte Arbeit (Gl.(7/5)) wird den Ladungsträgern zugeführt und in diesen als potentielle Energie gespeichert. Der Ladungsunterschied ruft auch im äußeren Stromkreis, d.h. dem angeschlossenen Widerstand R, ein elektr. Feld hervor. Infolge der dadurch verursachten Kraft bewegen sich die Ladungsträger durch den Widerstand. Hier wird das Gleichgewicht der stationären Strömung durch eine Art "Reibungskraft" bestimmt, die auf die Ladungsträger bei ihrer Bewegung durch den Leiter wirkt und die proportional ihrer Geschwindigkeit, also der Stromdichte ist (Gl.(7/6)).
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7.1 Das zeitlich veränderliche magnetische Feld

Die Induktionswirkung wurde für das Beispiel in Bild 7/1 der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld zugeschrieben. Im Folgenden sei zunächst an dem gleichen Beispiel gezeigt, dass auch eine andere Modellvorstellung möglich ist. Bewegt sich der Leiter in der Anordnung entsprechend Bild 7/1 mit der Geschwindigkeit , so wird die von der Masche Leiter, Schienen, Klemmen umfasste Fläche A kleiner; ihre zeitliche Änderung dA/dt ist negativ. Die in dem Leiter induzierte Spannung Ui lässt sich damit auch über die Flächenänderung zum Ausdruck bringen.
Da der Flächenänderung nun wiederum eine Änderung des von der Fläche umfassten Flusses entspricht, kann man die in dem Leiter induzierte Spannung auch einer zeitlichen Änderung des magn. Flusses zuschreiben, der von der Schleife umfasst wird, in der die Spannung auftritt. Für Bild 7/1 ergibt sich damit bei = konst. die Gl.(7.1/1).
Weiter folgt aus dem Bild 7/1, dass die induzierte Spannung Ui bei zeitlich abnehmendem Fluss positiv ist, wenn
a)  der Flächenvektor in Richtung gewählt wurde, sodass der Zählpfeil des Flusses Φ in Richtung weist, und
b) der Zählpfeil der induzierten Spannung rechtswendig um den Induktionsvektor bzw. den Zählpfeil des Flusses Φ weisend über die Leiterschleife angetragen wird (Bild 7.1/1).


Die abgeleitete Gl.(7.1/1) ist nicht nur eine andere Formulierung der Gl.(7/3), sondern sie hat weit darüber hinausgehende eigenständige Bedeutung, wie aus den folgenden weiteren Beispielen experimenteller Beobachtungen zu erkennen ist. Gleichzeitig sollen diese Beispiele zeigen, dass sich die in einer Schleife induzierte Spannung durch die Wahl eines geeigneten Beobachtungsstandpunktes in allen Fällen über die zeitliche Änderung des von der Masche umfassten magn. Flusses erklären lässt, nicht immer jedoch über die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld.
1. Eine Leiterschleife bewege sich, ohne ihre Form zu verändern (A = konst.) mit der Geschwindigkeit durch ein zeitlich konstantes und räumlich begrenztes Magnetfeld (Bild 7.1/2). Ist die Induktion im Bereich der Leiterlänge 1-2 ungleich null, im Bereich der Leiterlänge 3-4 dagegen null, so wird in der Schleife eine Spannung induziert. Von einem Standpunkt außerhalb der Schleife erkennt man deren Geschwindigkeit ≠ 0.
2. Bewegt sich die Leiterschleife des Beispiels 1 vollständig im homogenen Magnetfeld, so wird in ihr keine Spannung induziert. Da sich alle Teillängen mit gleichem in Bereichen mit konstantem bewegen, ist die induzierte Spannung im Bereich 1-2 entgegengesetzt gleich der in 3-4, sodass die Summenspannung in der Masche null ist. Beide Beispiele würden sich mit Φ = · auch über Ui = -dΦ/dt erklären lassen.
3. Der Umfang und die Welle einer rotierenden, leitenden Scheibe werden über feststehende Schleifer in eine feststehende Leiterschleife eingeschaltet (Bild 7.1/3). Rotiert die Scheibe mit ω in einem zeitlich konstanten Magnetfeld, dessen Induktion senkrecht zur Scheibe liegt, so wird in der Schleife eine Spannung induziert.
3.1 Betrachtet man von außerhalb der Scheibe die mit dem Leiter, d.h. der Scheibe, mit v = ω · r bewegt erscheinenden Ladungsträger, so ergibt sich, dass auf diese eine radial zum Scheibenrand gerichtete Kraft, also eine Feldstärke i wirkt, sodass von der Welle zum Scheibenrand eine induzierte Spannung Ui02 auftritt.
3.2 Von außerhalb der Scheibe lässt sich die gemessene Spannung über dΦ/dt dagegen nicht deuten, da die Fläche A2 der Schleife Welle, Scheibe, Leitungen, Klemmen wie auch die Induktion und damit der von der Schleife umfasste Fluss zeitlich konstant sind.
3.3 Bezieht man einen Betrachtungsstandpunkt auf der rotierenden Scheibe, z.B. den Punkt 1 auf dem Scheibenrand, so erscheint von hier die Scheibe stillstehend, aber der Schleifer 2 mit den Leitungen zu den Klemmen entgegen ω rotierend, d.h., man beobachtet die gestrichelt in Bild 7.1/3 eingezeichnete geschlossene Schleife um die Flächen A1 + A2, wobei A2 durch Welle, Scheibe, Leitungen bestimmt wird und A1, senkrecht zu A2, durch die Punkte 0, 1, 2. Während der Fluss in A2 konstant gleich null ist, ändert er sich in A1 bei konstantem entsprechend der Änderung von A1, und es wird in der Schleife die Spannung Ui induziert.

Da das Feld homogen ist, wird längs aller Radien r die gleiche Spannung induziert. Man nennt dies unipolare Induktion. Wäre das Feld inhomogen, so entstünden längs verschiedener Integrationswege verschiedene Spannungen; innerhalb der Scheibe wären sozusagen verschieden große Ersatzspannungsquellen parallel geschaltet - es gäbe Ausgleichströme innerhalb der Scheibe (Wirbelströme). Zur Berechnung der Spannung zwischen den Punkten 0 und 2 in Bild 7.1/3 reicht dann das Induktionsgesetz allein nicht aus. Das gilt ganz allgemein für bewegte Platten in inhomogenen Magnetfeldern.

4. In einer räumlich feststehenden Schleife (umfasste Fläche A zeitlich konstant) entsprechend Bild 7.1/4 ändert sich der von der Schleife umfasste Fluss zeitlich dadurch, dass sich die Induktion zeitlich ändert (d/dt ≠ 0), eine Gegebenheit, wie sie z.B. bei jedem Transformator vorliegt. Die experimentellen Erfahrungen zeigen, dass die in einer solchen Schleife induzierte Spanung Ui ebenfalls proportional ist der Änderungsgeschwindigkeit des umfassten magn. Flusses. Da man von beliebigen Standpunkten auf oder außerhalb der Schleife keine Bewegung derselben erkennt, wohl aber die zeitliche Änderung der Induktion, lässt sich die induzierte Spannung nur nach der Beziehung (7.1/3) deuten.
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7.1.1 Das Induktionsgesetz

Nach den Beispielen des letzten Abschnittes erscheint es sinnvoll, das Induktionsgesetz allgemeingültig über die zeitliche Flussänderung zu formulieren. Dazu ist es dann allerdings notwendig, die Flussänderung aller Ursachen zu berücksichtigen, also der Bewegung der Schleife (Bild 7.1/2) oder Teile derselben (Bild 7/1) und der zeitlichen Änderung der Induktion (Bild 7.1/4). Selbstverständlich können auch beide Ursachen gleichzeitig auftreten, wie z.B. in Bild 7.1.1/1 schematisch dargestellt.

Da der magn. Fluss und damit auch die Flussänderung sich immer auf eine bestimmte Fläche beziehen, die von einer in sich geschlossenen, d. h. endlosen, Linie begrenzt wird, muss die von einem Fluss in einer Schleife induzierte Spannung immer als geschlossenes Linienintegral angegeben werden (Gl.(7.1.1/2)).

Bei der Beschreibung praktisch ausgeführter Schaltungen durch diskrete Schaltelemente wird häufig die Schleife, in der die Spannung induziert wird, als eine über Klemmen zugängliche Spannungsquelle (aktiver Zweipol) aufgefasst, d.h., die Schleife muss geöffnet sein, damit die induzierte Spannung an ihren Enden (Klemmen) abgegriffen werden kann. Diese Auffassung ist physikalisch aber nur haltbar, wenn der geschlossene Kreis über einen so kurzen Weg ds geöffnet wird, dass das Integral der induzierten Feldstärke über diesen Weg vernachlässigbar klein ist. Praktisch bedeutet das in vielen Fällen keine Einschränkung, da die Schleife (häufig sogar aus mehreren Windungen bestehend wie z.B. beim Transformator) über Zuleitungen, die ihrerseits keinen nennenswerten Fluss einschließen (verdrillt oder parallel zueinander verlegt), zu ihren Klemmen geführt wird, sodass die induzierte Spannung als geschlossenes Wegintegral über die Schleife allein berechnet werden kann.

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass die Richtungsregeln des Induktionsgesetzes auch der Lentz’schen Regel nicht widersprechen. Ändert sich in einer galvanisch geschlossenen Schleife der magn. Fluss dΦ/dt < 0 (Bild 7.1.1/3), so wird eine Spannung Ui induziert, die einen Strom I in der Masche bewirkt, der an dem ohmschen Widerstand der Schleife den Spannungsabfall i · R zur Folge hat. Dieser Strom verursacht nun seinerseits ein magn. Feld, dessen Induktionsvektor (i) rechtswendig der Stromrichtung zugeordnet ist, und damit, wie aus Bild 7.1.1/3 zu ersehen, die gleiche Richtung hat wie die primär den Strom verursachende Induktion (t), d.h., der kleiner werdende Fluss bewirkt einen Strom, der den gesamten von der Schleife umfassten Fluss zu vergrößern sucht, sodass die Änderungsgeschwindigkeit dΦ/dt verringert wird. Allgemein lässt sich sagen: Ändert sich in einer galvanisch geschlossenen Schleife der von dieser umfasste magn. Fluss Φ (t), so wird dadurch in dieser Schleife ein Strom i bewirkt, der seinerseits einen magn. Fluss Φ (i) erregt, der so gerichtet ist, dass er den von der Schleife umfassten resultierenden Fluss konstant zu halten versucht, d.h., er wirkt der den Strom verursachenden Flussänderung entgegen.

Die Betrachtung der Induktionswirkungen in Netzwerkteilen, die sich nicht mehr in diskrete aktive und passive Zweipole zusammenfassen lassen (Bild 7.1.1/4), führt zu dem Induktionsgesetz in allgemeinster Form. In Bild 7.1.1/3 sei z.B. der Widerstand R räumlich über größere Bereiche der galvanisch geschlossenen Schleife ausgedehnt. Dann darf seine Länge bei der Berechnung der induzierten Spannung Ui nach Gl.(7.1.1/2) nicht mehr vernachlässigt werden. Betrachtet man den Extremfall, eine aus widerstandsbehafteten Draht bestehende kurzgeschlossene Schleife (Bild 7.1.1/5), so wird offensichtlich, dass man in einem geschlossenen Umlauf um einen sich zeitlich ändernden magn. Fluss keine Aufteilung in Bereiche vornehmen kann, in denen ausschließlich die Spannung induziert wird, bzw. in denen ausschließlich ein Spannungsabfall auftritt. Hier ist auch keine Möglichkeit gegeben, ausgezeichnete Stellen in dem geschlossenen Kreis anzunehmen, an denen sich Ladungskonzentrationen ausbilden, die Ursache eines elektr. Feldes sind, welches in Bild 7.1.1/4 für den widerstandsbehafteten Teil über beschrieben wird, und für den Teil, in dem induziert wird, über i.

Es ist vielmehr so, dass sich im galvanisch geschlossenen Kreis immer ein quellenfreies, geschlossenes Strömungsfeld ausbildet unabhängig davon, wie sich die Widerstände in diesem Kreis verteilen. Das über die geschlosssenen Strömungslinien gebildete Umlaufintegral ist dann gleich der zeitlichen Änderung des von diesem Umlauf umfassten magn. Flusses (Gl.(7.1.1/3)).

Bei vielen praktischen Problemstellungen kann man näherungsweise annehmen, dass von allen Umläufen der gleiche Fluss umfasst wird, sodass sich der Spulenfluss (z.B. Transformator) als Produkt aus der Zahl der Umläufe und dem für alle gleichen Fluss errechnen lässt (Gl.(7.1.1/6)).

Beispiel 7.1.1/1:

Eine rechteckige Spule der Fläche A = a·b mit der Windungszahl n wird senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld um ihre Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω gedreht.
Wie groß ist die in der Spule induzierte Spannung?

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7.1.2 Die Eigenheiten des zeitlich veränderlichen Feldes

Bei der bisherigen Beschreibung der Induktionswirkung wurden aus Leitern bestehende Schleifen angenommen, in denen sich freie Ladungsträger befinden, sodass der über die Kraftwirkung auf die Ladungen verursachte Ladungsunterschied durch eine Spannungsmessung immer auch experimentell nachgewiesen werden kann. Von dieser Vorstellung, dass eine Induktionswirkung an einen Leiter gebunden sei, kann man sich jedoch relativ leicht lösen, wenn man die Induktionswirkung in Analogie zu der Definition der Feldstärke als einen dem Raum eigenen physikalischen Zustand deutet. Nach den Feldvorstellungen der Elektrostatik ist die als Kraftwirkung auf die Ladung definierte Feldstärke ein Raumzustand, der nicht davon abhängt, ob sich eine Ladung, über die der Raumzustand gemessen werden kann, tatsächlich in dem betrachteten Raumpunkt befindet. Dementsprechend hat man unter der Induktionswirkung bereits den Tatbestand zu verstehen, dass ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld eine Kraftwirkung auf eine Ladung auszuüben vermag, d.h., dieses Vermögen, Kräfte auf Ladungen auszuüben, ist eine Eigenschaft des Raumes, die durch eine im zeitlich sich ändernden Magnetfeld auftretende elektr. Feldstärke zum Ausdruck gebracht und über ein mit dem magn. Feld gekoppeltes elektr. Feld beschrieben wird.

Mit einem sich zeitlich ändernden magn. Feld tritt gleichzeitig immer ein elektr. Feld auf, dessen Integral der elektr. Feldstärke längs eines geschlossenen Weges die in diesem Umlauf induzierte Spannung ist, die mit Hilfe einer Leiterschleife entlang des Integrationsweges auch experimentell nachgewiesen werden kann.

Nach den Feldvorstellungen sind die Feldlinien eines zeitlich veränderlichen Magnetfeldes von geschlossenen elektr. Feldlinien umgeben (Wirbelfeld). Existiert in dem betrachteten Feldteil keine bewegte Ladung, aber ein zeitlich sich änderndes elektr. Feld (Feld im Nichtleiter), so lässt sich das Durchflutungsgesetz mit Gl.(7.1.2/2) beschreiben. Die beiden Gleichungen (7.1.2/1) und (7.1.2/2) beschreiben durch ihre gegenseitige Umkehrung besonders eindringlich das elektromagn. Feld als eine Einheit:
1. Ein zeitlich sich änderndes elektr. Feld wird von einem Magnetfeld umwirbelt.
2. Ein zeitlich sich änderndes magn. Feld wird von einem elektr. Feld umwirbelt.

Die gegenseitige Verkopplung der elektr. und magn. Komponente des elektromagnetischen Feldes bewirkt bei schneller periodischer zeitlicher Änderung besondere Erscheinungen, wie Stromverdrängung im Leiter, Feldverdrängung im magn. Leiter und elektromagn. Wellen im Nichtleiter. In Bild 7.1.2/3 ist schematisch die Wirbelverkopplung in einem stromdurchflossenen Leiter skizziert. Sie wird bei schnellen zeitlichen Stromänderungen wirksam und bewirkt die Verringerung der Stromdichte in den achsennahen Bereichen durch die entgegengesetzten Richtungen des Stromdichtevektors und des Vektors der induzierten Feldstärke . Diesen Stromverdrängungseffekt nennt man Haut- oder Skineffekt. Bild 7.1.2/4 zeigt die analoge Erscheinung im magn. Leiter.

Der zeitlich veränderliche Fluss wird von einem Feldstärkefeld umwirbelt. Dieser -Wirbel ruft einen Stromwirbel im massiven Eisenkern hervor (Wirbelstrom in Richtung ), und dieser wird wiederum von einem 2-Wirbel umgeben, der in den achsennahen Bereichen dem ursächlichen Fluss entgegenwirkt.
Bei den elektromagn. Wellen im nichtleitenden Raum ist der Magnetfeldwirbel nicht mit einem Leitungsstrom verkoppelt, sondern mit einem Verschiebungsstrom.
Technische Anwendungen finden Wirbelströmungen in Zählerscheiben, Wirbelstrombremsen und Induktionsöfen. Sonst sind sie unerwünscht, da sie den Kern erwärmen. Man kann sie weitgehend unterdrücken, indem man den Kern lamelliert, d.h. ihn aus einzelnen, dünnen Blechen schichtet, die gegeneinander durch eine dünne, aufgeklebte Papierschicht oder durch eine Lackhaut isoliert werden. Die Schichtung z.B. beim Bild 7.1.2./4 würde senkrecht zur Flussrichtung erfolgen. Weil mit wachsender Frequenz der zeitlichen Änderung die Blechdicke immer weiter herabgesetzt werden muss, geht man bei Hochfrequenz auf Massekerne über; das sind Kerne, die aus einer Mischung feinsten Eisenpulvers mit Isolierharz gepresst werden.

Beispiel 7.1.2/1:

In einem geraden, magn. Leiter (Eisen) von kreisförmigem Querschnitt soll überall die gleiche Induktion B bestehen, die sich zeitlich ändert (Bild 7.1.2/5).
Berechnen Sie als Funktion des Radius r
a) die elektr. Feldstärke inner- und außerhalb des magn. Leiters,
b) die Stromdichte J der Wirbelströme im Eisen,
c) die elektr. Erregung außerhalb des Eisens,
d) den Wirbelstrom für eine Länge l des magn. Leiters,
e) die von den Wirbelströmen im Eisenzylinder der Länge l hervorgerufene Verlustleistung.

Beispiel 7.1.2/2:

Berechnen Sie für das in Bild 7.1.2/8 skizzierte Eisenblech (d << b) bei zeitlicher Änderung der Induktion B im Blech
a) die elektr. Feldstärke innerhalb des magn. Leiters als f(x),
b) die Stromdichte der Wirbelströme im Leiter als f(x),
c) für eine Länge l des Bleches den gesamten Wirbelstrom und die Verlustleistung.
d) Wie groß ist die Verlustleistung eines aus n solchen Blechen geschichteten Kernes quadratischen Querschnitts, und in welchem Verhältnis steht sie zu der in Beispiel 7.1.2/1 für den zylindrischen, nichtlamellierten Kern berechneten, wenn in beiden Fällen gleiches Kernvolumen vorausgesetzt wird?
b = 5 cm, d = 0,1 mm

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7.2 Berechnung der induzierten Spannung mit Hilfe der Induktivität

Bei allen räumlich ausgedehnten elektr. Kreisen bilden die fließenden Ströme ein magn. Feld aus. Ändert sich der Strom zeitlich, so ändert sich auch das magn. Feld, wodurch eine Spannung induziert wird, die in dem Spannungssatz für diesen Kreis berücksichtigt werden muss. Bei allen zeitlich nicht konstanten Strömen kann also der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom nur unter Einbeziehung des magn. Feldes beschrieben werden. Am einfachsten geschieht dieses über die bereits in 5.3.3 definierte Induktivität.


7.2.1 Die Selbstinduktion

In einer Schleife beliebiger Form fließe der Strom i(u), der den von ihr umfassten Fluss Φ errege (Bild 7.2.1/1). Ändert sich der Strom i(u), wird er z.B. um di größer, so vergrößert sich entsprechend dem Durchflutungssatz auch der Fluss, z.B. um dΦ . Die infolge der Stromänderung, rechtswendig zu (i(u)) anzutragende, induzierte Spannung ui ergibt sich negativ, da di positiv ist (Gl.(7.2.1/1)), und muss als eine weitere in die Masche eingeschaltete Spannung aufgefasst werden, deren Wirkung nach dem Überlagerungssatz für sich berechnet werden kann, wenn die primäre Spannungsquelle u als kurzgeschlossen angenommen wird (u = 0).
Der Strom i(ui) ist negativ, d.h., er fließt entgegen der angenommenen Richtung, entgegen dem Zählpfeil ui und damit auch entgegen dem Strom i(u). Dieser Strom i(ui) erregt nun seinerseits auch ein Feld, dessen Induktion (i(ui)) rechtswendig i(ui) zugeordnet ist (wegen i(ui) < 0 entgegengesetzte Richtung), also der primären Induktion (i(u)) entgegenwirkt.

Ändert sich in einem elektr. Kreis der Strom zeitlich, so wird über die damit verbundene zeitliche Änderung des Flusses eine Spannung induziert, die sogenannte Selbstinduktionsspannung, die immer der sie verursachenden Stromänderung entgegenwirkt, d.h., ihre Wirkung versucht, den Strom in dem Kreis konstant zu halten.

Wie in 5.3.3 gezeigt, kann der pro Strom in einer Schleife erregte Fluss durch die Induktivität L angegeben werden. Erweitert man den Induktivitätsbegriff sinngemäß auf mehrere Windungen bzw. Umläufe, d.h., definiert man die Induktivität als Spulenfluss pro Strom in dieser Spule (Gl.(7.2.1./3)), so lässt sich die Selbstinduktionsspannung auch direkt über die Stromänderung zum Ausdruck bringen (Gl.(7.2.1/4)). Darin ist der Induktionsvektor , aus dem sich Ψ ergibt, rechtswendig dem Spulenstrom i zugeordnet, und für den Zählpfeil der Spannung ui gilt, dass er rechtswendig dem Induktionsvektor zugeordnet ist. Daraus folgt:
Der Zählpfeil der Selbstinduktionsspannung ui an der Induktivität ist in Richtung i anzutragen.
Von primärer Bedeutung ist natürlich die Änderung des Flusses und nicht die des Stromes, d.h., ist die Induktivität L keine Konstante, sondern selbst bereits eine Funktion des Stromes, wie z.B. bei Spulen mit Eisen, so muss entsprechend Ψ = i · L(i) (aus Gl.(7.2.1/3)) das Produkt aus L(i) und i differenziert werden (Gl.(7.2.1/5)).

Beispiel 7.2.1/1:

a) Berechen Sie die Induktivität der skizzierten Drosselspule in Abhängigkeit von der Luftspaltlänge und stellen Sie sie normiert dar.
b) Welcher Strom in Abhängigkeit vom Luftspalt ist nötig, um eine konstante Induktion zu erzeugen, und wie groß ist er für lL = 0 bzw. lL = 1 mm bei B = 1,6 Vsec/m2 ?
c) Welche Selbstinduktionsspannung entsteht, wenn man die in b) berechneten Ströme in 0,5 msec unter Annahme eines zeitlinearen Stromabfalls unterbricht? (μr soll konstant sein)
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7.2.1.1 Die Induktivität L als Zweipol

Das Schaltsymbol für L ist in Bild 7.2.1.1/2 dargestellt. Es berücksichtigt also den Einfluss des eigenen Magnetfeldes im Kreis. Bei einer Induktivität als Zweipol nehmen wir immer eine Spule mit vielen Windungen und evtl. mit Eisenkern an, sodass der Fluss in dieser konzentriert und im Verhältnis zu dem Fluss der Zuleitungen sehr groß ist. Wir wählen nun (wie bei den anderen Zweipolen R und C) den Richtungssinn des Spannungsabfalls uL über den Klemmen des Zweipols in Richtung des Stromes i .

Technisch ist eine Spule immer mit einem (Draht-) Widerstand behaftet, d.h., es wird außer dem Auf- und Abbau des magn. Feldes auch Energie in Wärme umgeformt. Diesen gleichmäßig über die Drahtlänge verteilten Widerstand R stellen wir im Ersatzschaltbild durch ein konzentriertes Schaltelement dar (Bild 7.2.1.1/4).

Beispiel 7.2.1.1/1:

Eine von einem Gleichstrom I0 durchflossene Spule, gekennzeichnet durch ihre Selbstinduktivität L und den Widerstand R ihrer Wicklung, wird zur Zeit t = 0 durch Schließen eines Schalters kurzgeschlossen (Bild 7.2.1.1/5).
a) Berechnen Sie den Spulenstrom für t 0 und stellen Sie ihn grafisch über der Zeit dar.
b)Wie groß ist uL?
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7.2.2 Die Gegeninduktion

Fließt in einer Schleife (1) der Strom i1 (Bild 7.2.2/1), der sich zeitlich ändert, so ändert sich auch die von i1 in einer Spule (2) erregte Induktion 2(i1). Dadurch wird in der Spule (2) eine Spannung induziert, die sogenannte Gegeninduktionsspannung ui2. Diese Gegeninduktionsspannung kann nun analog der Selbstinduktionsspannung mit Hilfe der in 5.3.3 definierten Gegeninduktivität M direkt aus der Stromänderung berechnet werden (Gl.(5.3.3/8)).
Dabei müssen aber die Konsequenzen des Vorzeichens von M, welches sich aus der frei wählbaren Richtung des Flächenvektors 2 ergab (siehe 5.3.3), wie folgt beachtet werden:

1.  Der Flächenvektor 2 der Spule (2) ist frei wählbar, damit ist aber die Integrationsrichtung in der Spule (2) rechtswendig zu 2 festgelegt. dwird rechtswendig zu 2 festgelegt.
2.  Dann ergibt sich die Umlaufspannung als Integral der Feldstärke in Richtung dpositiv, wenn diese Feldstärke rechtswendig wirkt. Die Zählpfeile von ui2 oder uL2 werden in Richtung d, also rechtswendig zu 2, angetragen.
3.  Die so angetragenen Zählpfeile sind auch dem Induktionsvektor 2(i1) bzw. dem Zählpfeil für Φ21 rechtswendig zugeordnet, wenn die erregte Induktion 2(i1) in Richtung 2 verläuft, d.h., in diesem Fall ist den ui2- bzw. uL2-Zählpfeilen die Gleichung (7.2.1.1/1) zugeordnet.

In die Gleichung (7.2.2/1) müssen die Werte für Ψ21 bzw. M21 unter Beachtung ihres Vorzeichens, d.h. der Richtung des durch i1 gegebenen Induktionsvektors 2(i1) und des gewählten Flächenvektors 2, entsprechend der Gl. (7.2.2/2) eingesetzt werden.

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7.2.3 Induktivitätsdefinitionen bei magn. gekoppelten Spulen bzw. Stromkreisen

Die magn. Kopplung zwischen zwei elektr. Stromkreisen ist von fundamentaler Bedeutung, da sie bei den praktisch allein realisierbaren räumlich ausgedehnten Kreisen prinzipiell immer gegeben ist. Sie kann gewollt und damit möglichst groß sein, wie z.B. beim Transformator, oder ungewollt, d.h. möglichst klein, wie z.B. zwischen zwei Fernsprechkreisen, in denen kein "Übersprechen" auftreten soll. Man hat daher für die Beschreibung der magn. Kopplung zweier Spulen eine Reihe von Definitionen geschaffen. Selbstverständlich gelten diese für Spulen mit n Windungen formulierten Definitionen in gleicher Weise auch für zwei Stromkreise, da diese als zwei Spulen der Windungszahl n = 1 aufgefasst werden können.
Zwei Spulen bzw. Stromkreise (Bild 7.2.3/1) sind immer so angeordnet, dass der von einem Strom in in einer Spule (n) erregte magn. Fluss Fn(in) nur zum Teil Fm(in) < Fn(in) mit der zweiten Spule (μ) verkettet ist.
Fn(in): Gesamtfluss der Spule (n), der vom Strom in in der Spule (n) erregt wird.
Fnh: Haupt- oder Nutzfluss, der vom Strom in in Spule (n) erregt wird und gleichermaßen mit beiden Spulen (n) und (μ) verkettet ist.
Fn: Streufluss, der vom Strom in in Spule (n) erregt wird und nur mit Spule (n) verkettet ist.

Diesen Flusskomponenten entsprechend werden auch Induktivitäten definiert, die entsprechend Ψ/i ≈ n·F/i nicht nur vom Fluss F, sondern auch von der Windungszahl n der Spule abhängig sind.

Für die folgenden Definitionen gelten die Voraussetzungen:
a) Alle Windungen in einer Spule umfassen den selben Fluss, sodass Ψ = n·Φ gilt,
b) beide Spulen befinden sich in einem Raum homogener Permeabilität μ = konst. .

Die Gegeninduktivität in Gl.(7.2.3/2) ist eine Größe, die sozusagen die aus beiden Spulen gebildete Einheit beschreibt.

Die Streuinduktivität in Gl.(7.2.3/3) ist entsprechend dem Streufluss jeder Spule für sich zugeordnet.

Die Selbstinduktivität in Gl.(7.2.3/4) ist entsprechend dem Gesamtfluss ebenfalls jeder Spule zugeordnet.

Die Hauptinduktivität bezieht sich wie die Gegeninduktivität auf den Haupt- oder Nutzfluss, ist aber im Gegensatz zu dieser jeder Spule für sich zugeordnet (Gl.(7.2.3/5)), d.h., sie bezieht sich nicht auf den Spulenfluss in der Gegenspule, sondern auf den in der Spule des erregenden Stromes.

Gl.(7.2.3/6) beschreibt den Zusammenhang zwischen Hauptinduktivität einer Spule (n) und der Gegeninduktivität derselben zur zweiten Spule (μ).

Gl.(7.2.3/7) beschreibt das Verhältnis der Hauptinduktivität der Spule (n) zur Hauptinduktivität der Spule (μ).

Die Gegeninduktivität M eines Spulenpaares ist nach Gl.(7.2.3/8) gleich dem geometrischen Mittel der beiden Hauptinduktivitäten Lμh und Lnh.

Aus den verschiedenen Induktivitäten sind noch eine Reihe einfacher zu handhabende Verhältnisgrößen zur Kennzeichnung der magn. Kopplung zweier Spulen definiert.

Der Streukoeffizient σn bzw.σm in Gl.(7.2.3/9) bzw. Gl.(7.2.3/10) gibt das Verhältnis von Streufluss zu Hauptfluss einer Spule an und kann zwischen 0 und 1 liegen.

Als komplementäre Größe ist der totale Kopplungsfaktor k in Gl.(7.2.3/11) definiert. Der totale Kopplungskoeffizient k gibt das Verhältnis von Gegeninduktivität zum arithm. Mittelwert der Selbstinduktivitäten an.

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7.2.4 Die Vierpolgleichungen magn. gekoppelter Spulen

Bei den Vierpolgleichungen ist ein Strom in umgekehrter Richtung durch ein Minuszeichen zu berücksichtigen. Ob die M-Glieder positives oder negatives Vorzeichen erhalten (d.h., ob die Flüsse sich addieren oder subtrahieren), hängt vom Wickelsinn der Spulen und von den Stromrichtungen ab. Man kennzeichnet dies im Schaltbild durch einen Punkt (Bild 7.2.4/2). Fließen die Ströme in beiden Spulen auf die Punkte zu oder von diesen weg, so addieren sich die Flüsse; man schreibt +M.

Eine gegenseitige Induktion von Spule 1 nach 2 und umgekehrt kann gleichzeitig auftreten, wenn nicht nur in der Spule 1, sondern auch in der Spule 2 ein zeitlich veränderlicher Strom fließt.

Beispiel 7.2.4/1:

Gegeben ist ein idealisierter Transformator. Für den Transformator sollen folgende Annahmen gelten:
  1. k = 1: Der gesamte Fluss ist mit beiden Spulen verkoppelt, die im Bild 7.2.4/4 gestrichelt gezeichneten Flusslinien außerhalb des Eisenkreises (Streufluss) werden vernachlässigt (Φ1 = Φ2 = Φ).
  2. Der magn. Kreis soll einen vernachlässigbaren magn. Widerstand besitzen (Rmges = 0).
  3. Die Spulenwiderstände seien zu vernachlässigen (R1 = R2 = 0).
    Berechnen Sie:
    a) die Stromübersetzung i1/i2,
    b) die Spannungsübersetzung u1/u2,
    c) den Eingangswiderstand rin, wenn die Sekundärwicklung mit einem Lastwiderstand RL abgeschlossen wird,
    d) die Leistungsübersetzung p1/p2.

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    ©2000-2001  Jan Knickmeier & Timo Eich
    ©2002  Überarbeitet von Markus Mattern