Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Math. Monika Lutz, Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften und Datenverarbeitung,

Fachhochschule Gießen-Friedberg, 61169 Friedberg, Wilhelm-Leuschner-Str. 13

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NUMERISCHE MATHEMATIK 1 und 2

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EINFÜHRUNG
LÖSUNG VON NICHTLINEAREN GLEICHUNGEN
VERFAHREN ZUR LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME
LÖSUNG VON EIGENWERTAUFGABEN
ALGORITHMEN
ANHANG
INTERPOLATION UND APPROXIMATION
NUMERISCHE DIFFERENTIATION UND INTEGRATION
VERFAHREN ZUR LÖSUNG VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ANHANG

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NUMERISCHE MATHEMATIK 1 und 2

EINFÜHRUNG	1 Aufgaben und Ziele 2 Fehlerklassifizierung numerischer Methoden 2.1 Überblick 2.2 Eingangsfehler 2.3 Verfahrensfehler 2.4 Rechnungsfehler 2.5 Fehleranalyse 3 Rechnerarithmetik 3.1 Darstellung von Gleitkommazahlen 3.2 Verteilung der Gleitkommazahlen 3.3 Rundung
LÖSUNG VON NICHTLINEAREN GLEICHUNGEN	1 Einleitung 2 Fixpunktiteration und BANACHscher Fixpunktsatz 3 NEWTON-Verfahren 3.1 NEWTON-Verfahren für einfache, reelle Nullstellen 3.2 Vereinfachtes NEWTON-Verfahren 3.3 Sekanten-Verfahren 3.4 Regula falsi 3.5 Mehrdimensionales NEWTON-Verfahren 4 Konvergenzordnung 5 NEWTON-Verfahren für mehrfache, reelle Nullstellen 6 Konvergenzbeschleunigung
VERFAHREN ZUR LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME	1 Einleitung 1.1 Anwendungsgebiete 1.2 Darstellung von Linearen Gleichungssystemen 1.3 Einteilung der Lösungsverfahren 2 Direkte Verfahren zur Lösung Linearer Gleichungssysteme 2.1 Grundgedanke der direkten Verfahren 2.2 Eliminationsverfahren von GAUSS 2.2.1 Quadratische Gleichungssysteme 2.2.2 Pivotisierung 2.2.3 Matrixdarstellung des GAUSS-Verfahrens 2.2.4 LR-Zerlegung 2.2.5 Rechenaufwand 2.2.6 Fehlereinflüsse bei direkten Verfahren 2.3 Lösbarkeit von (m x n)-Gleichungssystemen 2.4 Eliminationsverfahren nach GAUSS-JORDAN 2.4.1 Prinzip des Verfahrens 2.4.2 Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten 2.4.3 Berechnung der inversen Matrix A-1 2.5 CHOLESKY-Verfahren 2.5.1 CHOLESKY-Zerlegung positiv definiter Matrizen 2.5.2 Rekursive Form des CHOLESKY-Verfahrens 3. Fehlerabschätzungen für den Eingangsfehler 3.1 Kondition einer Matrix 3.2 A priori Fehlerabschätzung 3.3 A posteriori Fehlerabschätzung 4 Iterative Verfahren zur Lösung Linearer Gleichungssysteme 4.1 Allgemeines 4.2 Gesamtschritt-Verfahren (JACOBI) 4.3 Einzelschrittverfahren (GAUSS-SEIDEL-Verfahren) 4.4 Konvergenzkriterien für Iterative Verfahren 5 Lösung von Großen Gleichungssystemen mit EDV-Anlagen 5.1 Anforderungen an Programmsysteme 5.2 Spezielle Speichertechniken 5.2.1 Einleitung 5.2.2 Nichtverkettete Listen 5.2.3 Verkettete Listen 5.3 Spezielle Algorithmen 5.3.1 Allgemeines 5.3.2 GAUSS-Algorithmus für Bandmatrizen 5.4 Zusammenfassung
LÖSUNG VON EIGENWERTAUFGABEN	1 Einleitung 2 Eigenwertproblem am Beispiel 3 VON-MISES-Verfahren (Potenzmethode) 3.1 Betragsgrößter Eigenwert 3.2 Bestimmung weiterer Eigenwerte 3.3 Betragskleinster Eigenwert 4 Inverse Iteration
ALGORITHMEN	A1 Lösung einer Gleichung f(x) = 0 mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens A2 Lösung eines Linearen Gleichungssystems Aúx = b mit dem GAUSS-Verfahren und Spaltenpivotisierung A3 CHOLESKY-Zerlegung A4 VON-MISES-Verfahren zur Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes \1 der Matrix A und eines Eigenvektors x1 zu \1
ANHANG	1 Konvergenzaussagen in normierten und metrischen Räumen 1.1 Euklidischer Raum Rn 1.2 Normierte Räume 1.3 Metrischer Raum 1.4 Äquivalenz der Normen 1.5 Fixpunktsätze in metrischen Räumen
INTERPOLATION UND APPROXIMATION	1 Aufgabenstellung 2 Auswertung eines Polynoms 2.1 Herleitung des HORNER-Schemas 2.2 Beispiel zur Handrechnung 3 Polynominterpolation 3.1 Problem und Lösbarkeit 3.2 LAGRANGEsche und NEWTONsche Form der Interpolation 3.3 HERMITE-Interpolation 3.4 Interpolationsfehler 4 Spline-Interpolation 4.1 Begriff der Splinefunktion 4.2 Lineare Splines 4.3 Quadratische Splines 4.3.1 Definition 4.3.2 Quadratische Splines mit tangentialen Übergängen 4.3.3 Möglichkeiten der Festlegung des freien Parameters m0 4.4 Kubische Splines 4.4.1 Definition 4.4.2 Kubische Splines î C2[x0,xn] 4.4.3 Natürliche kubische Splines 4.4.4 Periodische kubische Splines 4.5 B-Splines 4.5.1 Einleitung 4.5.2 Lineare B-Splines 4.5.3 B-Splines vom Grad k > 1 4.6 Parametrische Kurven 4.6.1 Parametrische Splines zur Darstellung von Kurven 4.6.2 BEZIER-Kurven 4.6.2.1 BEZIER- und BERNSTEIN-Polynome 4.6.2.2 Algorithmus von DE CASTELJAU 4.6.2.3 BEZIER-Kurven 4.6.3 Parametrische B-Spline-Kurven 4.6.3.1 Uniforme B-Spline-Funktionen 4.6.3.2 Approximation mit B-Spline-Kurven 4.6.3.3 Vergleich von BEZIER- und B-Spline-Methoden
NUMERISCHE DIFFERENTIATION UND INTEGRATION	1 Aufgabenstellung 2 Numerische Differentiation 2.1 Interpolation durch ein Polynom 2.2 Approximation von Ableitungen erster Ordnung 2.2.1 Lineare Interpolation von f 2.2.2 Quadratische Interpolation von f 2.2.3 Äquidistante Stützstellen 3 Numerische Integration 3.1 Quadratur 3.2 Quadratur durch Polynominterpolation 3.3 Quadraturfehler und zusammengesetzte Quadraturformeln 3.4 Verfahren von ROMBERG 4 Schlußbetrachtung
VERFAHREN ZUR LÖSUNG VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ANHANG

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Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Math. Monika Lutz

Fachbereich MND, Fachhochschule Gießen-Friedberg

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